Existe-t-il une logique sans principe de non contradiction ?

[Qui]

Bonjour,

Principe de non contradiction : Pour toute affirmation A, (non(A) et A) est une affirmation fausse.

Existe-t-il une logique où (A et non(A)) admet un exemple valide pour la logique en question ?

Si non, pourquoi ?

Merci.
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[Médiat]

Bonjour,

Il en existe plusieurs, vous pouvez faire une recherche sur "Logique paraconsistante" ou "logique paracohérente", ou encore sur le nom de "Lupasco"

[Qui]

Merci.

C'est très surprenant, pour moi.
Quelle est le principe irréductible que doit posséder toute mode de raisonnement pour être qualifier de logique ?

[noumen]

Bonsoir,
Une faille irrémédiable, il me semble, dans la logique est qu'elle ne s'accommode pas du concept d'infini.
Ainsi, les entiers permettent de définir les rationnels.
Les rationnels forment un continuum et pourtant la diagonale du carré n'appartient pas à ce continuum : Le continuum est discontinu!
Deuxième exemple bien connu, la partie est plus petite que le tout, or il y a égalité parfaite entre les entiers et les nombres pairs : Ils sont à la fois deux fois moins nombreux et égaux aux entiers naturels!

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir,
Une faille irrémédiable, il me semble, dans la logique est qu'elle ne s'accommode pas du concept d'infini.
Ainsi, les entiers permettent de définir les rationnels.
Les rationnels forment un continuum et pourtant la diagonale du carré n'appartient pas à ce continuum : Le continuum est discontinu!
Deuxième exemple bien connu, la partie est plus petite que le tout, or il y a égalité parfaite entre les entiers et les nombres pairs : Ils sont à la fois deux fois moins nombreux et égaux aux entiers naturels!

Bonsoir,

La théorie des ensembles (ZF) formalise très bien le concept d'infini dit "actuel".

Par ailleurs, je ne vois pas bien ce que tu veux dire à l'aide de ton premier exemple ? ... Quant à ton deuxième exemple, ce que dit ZF à ce sujet c'est que le cardinal de l'ensemble des nombres entiers est égal au cardinal de l'ensemble des nombres entiers pairs, ... il n'a jamais été question d' "égalité parfaite entre les entiers et les nombres pairs" (en plus ça ne veut pas dire grand chose), ni de "deux fois moins nombreux" (ça ne veut pas dire grand chose non plus).

Bref je ne vois pas bien où tu veux en venir d'autant plus que les notions et le vocabulaire que tu utilises ne font pas partie de la théorie qui est précisemment en jeu ici.

Cordialement

[pm42]

Quant à ton deuxième exemple, ce que dit ZF à ce sujet c'est que le cardinal de l'ensemble des nombres entiers est égal au cardinal de l'ensemble des nombres entiers pairs, ... il n'a jamais été question d' "égalité parfaite entre les entiers et les nombres pairs" (en plus ça ne veut pas dire grand chose), ni de "deux fois moins nombreux" (ça ne veut pas dire grand chose non plus).

En effet. Le problème vient de prendre une logique adaptée aux cardinaux finis pour compter les éléments et de l'appliquer à un infini.
Bref, d'utiliser une méthode interdite puis d'en déduire que le problème vient de la "logique". Sachant que ce serait plus les mathématiques que la logique.

Idem pour les rationnels : le concept de "continuum" n'est pas défini, l'emploi de "continu" ne correspond à aucune définition et il y a une confusion entre "dense" et "algébriquement clos".

Cela fait beaucoup d'imprécision et de confusion et je doute que ce soit "la logique" qui soit en cause ici, mais plutôt que la vieille remarque sur l'ouvrier qui blâme les outils qui s'applique.

[Médiat]

Bonjour,

Quant à ton deuxième exemple, ce que dit ZF à ce sujet c'est que le cardinal de l'ensemble des nombres entiers est égal au cardinal de l'ensemble des nombres entiers pairs, ... il n'a jamais été question d' "égalité parfaite entre les entiers et les nombres pairs" (en plus ça ne veut pas dire grand chose), ni de "deux fois moins nombreux" (ça ne veut pas dire grand chose non plus).

Juste pour insister sur ce que PlaneteF écrit, je vais répéter ce que j'ai déjà écrit ici : Ce n'est pas "nombre d'éléments" qui définit "Cardinal", mais "Cardinal" qui définit "Nombre d'éléments". La notion même de "nombre d'éléments d'un ensemble" n'est pas une notion mathématique (contrairement au cardinal), en tout cas tant que l'on ne l'a pas définie comme "le cardinal de l'ensemble".

[Qui]

Bonjour,

D'après wiki, la logique est l'étude d'inférence.
L'inférence est la transformation d'une prémisse en une conséquence à l'aide de règle (dîtes règles d'inférences).
A partir de là, je me pose la question, existe-t-il des raisonnements qui ne sont pas logique ?
Sachant qu'un raisonnement est la manière d'obtenir de nouveau résultat à partir de résultats déjà connu.

[noumen]

Bonjour,

Je vais essayer de m'exprimer un peu mieux. Mais à trop vouloir utiliser le langage usuel et admis, le sens échappe parfois à l'entendement.

Est ce que oui ou non, il y a une infinité de nombres rationnels entre disons 1 et 2 ? Oui.
Est ce qu'une infinité de nombres forment un continuum ? Oui.
Comment se peut-il alors que dans ces conditions (la longueur de la diagonale du carré) n'appartienne pas à ce continuum ?
Ce syllogisme met la logique à mal ici, non ? Tout semble dire que nous sommes en présence d'un continuum avec des trous, un segment de droite continu et discret à la fois.
Si cela ne choque que moi, je reprends mes messages, je les remets dans mon sac et vous me voyez plus...

[Médiat]

Bonjour,

Est ce que oui ou non, il y a une infinité de nombres rationnels entre disons 1 et 2 ? Oui.

Oui

Est ce qu'une infinité de nombres forment un continuum ? Oui.

C'est quoi un continuum, pour vous ? Pour toutes les significations qui me viennent à l'esprit la réponse est non.

Comment se peut-il alors que dans ces conditions (la longueur de la diagonale du carré) n'appartienne pas à ce continuum ?

Impossible de répondre tant que vous n'avez pas répondu à la question ci-dessus.

Ce syllogisme met la logique à mal ici, non ? Tout semble dire que nous sommes en présence d'un continuum avec des trous, un segment de droite continu et discret à la fois.

C'est quoi un ensemble continu, pour vous ?

[Qui]

Est ce qu'une infinité de nombres forment un continuum ? Oui.

Les entiers sont une infinités forment-ils pour toi un continuum ?

[Qui]

Si non considères l'ensemble des 1/n, avec n un entier, tous ces nombres sont compris entre 0 et 1, sont une infinité et entre un nombre et son suivant il y a une distance strictement positive, |1/n-1/n+1|=1/(n*(n+1))>0.

D'après wiki, la logique est l'étude d'inférence.
L'inférence est la transformation d'une prémisse en une conséquence à l'aide de règle (dîtes règles d'inférences).
A partir de là, je me pose la question, existe-t-il des raisonnements qui ne sont pas logique ?
Sachant qu'un raisonnement est la manière d'obtenir de nouveau résultat à partir de résultats déjà connu.

[Matmat]

Bonjour,

D'après wiki, la logique est l'étude d'inférence.
L'inférence est la transformation d'une prémisse en une conséquence à l'aide de règle (dîtes règles d'inférences).
A partir de là, je me pose la question, existe-t-il des raisonnements qui ne sont pas logique ?
Sachant qu'un raisonnement est la manière d'obtenir de nouveau résultat à partir de résultats déjà connu.

Un raisonnement qui ne respecte pas une règle d'inférence que son auteur prétend ou croit respecter .

[Qui]

Un raisonnement qui ne respecte pas une règle d'inférence que son auteur prétend ou croit respecter .

Donc les sophismes ou les paralogismes, y-en a-t-il d'autre ?

[noumen]

Le continu c'est l'unité dans le multiple comme aurait dit je ne sais plus qui.

Il me semble dans le fond que les mathématiciens inventent des concepts mathématiques pour "dépasser" la logique du bon sens, celle qui repose exclusivement sur l'expérience.
Par exemple, je crois que l'invention du concept de radical par les grecs a été un coup de force ou un coup de génie pour "dépasser" un paradoxe : l'incommensurabilité de la diagonale du carré. En ce sens, il y a dans les mathématiques une dose de "transcendance". Les nombres irrationnels (qui portent bien leur nom) font que le continu mathématique n'est pas le même que le continu physique.

Mais je ne dis que des banalités plus ou moins justes...

[sunyata]

Bonjour,

Principe de non contradiction : Pour toute affirmation A, (non(A) et A) est une affirmation fausse.

Existe-t-il une logique où (A et non(A)) admet un exemple valide pour la logique en question ?

Si non, pourquoi ?

Merci.

Bonjour,

L'idée fait penser au Chat de Schrödinger.
N'est-il pas à la fois <Mort + Vivant> ?

Cordialement

[Médiat]

Le continu c'est l'unité dans le multiple comme aurait dit je ne sais plus qui.

Le Un et le Multiple sont des concepts Platoniciens, mais quel rapport avec le continu ?

Surtout, la question est : quelle est la définition mathématique d'ensemble continu, ou de continuum ?

[Qui]

Surtout, la question est : quelle est la définition mathématique d'ensemble continu, ou de continuum ?

Ce qu'il semble appelé continuum est un espace métrique C totalement ordonnée, tel x<y<z ->d(x,y)<d(x,z) et tout point de C est valeur d’adhérence de C.

[Deedee81]

Salut,

On va essayer d'être plus concret.

Petite précision concernant"espace continu". Je qualifierais d'espace continu le cas où la fonction identité est continue.

Que Médiat m'assomme si j'ai dit une co...ie.

Ce qu'il semble appelé continuum est un espace métrique C totalement ordonnée, tel x<y<z ->d(x,y)<d(x,z) et tout point de C est valeur d’adhérence de C.

Un espace métrique n'est pas nécessairement continu et la notion de continuité ne nécessite pas nécessairement la définition d'une métrique.

Un petit coup de main :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Contin...%A9matiques%29
La notion de continuité nécessite de définir une topologie (qui ne dérive pas toujours d'une distance).

[pm42]

Petite précision concernant"espace continu". Je qualifierais d'espace continu le cas où la fonction identité est continue.

La fonction identité de Q dans Q est continue avec la topologie usuelle. Mais dans l'usage du mot fait plus haut, j'avais l'impression que le concept qui était cherché était plutôt celui d'espace complet.

Parfois, je regrette qu'autant de messages sur le forum soient consacrés à répondre à des affirmations imprécises formulées par des gens qui ne connaissent pas vraiment le sujet et qui au lieu de poser des questions viennent expliquer ce qu'ils croient avoir compris comme une vérité révélée.

[Médiat]

Je qualifierais d'espace continu le cas où la fonction identité est continue.

Tout ensemble est continu avec cette définition ! (mais nécessite une topologie)

Que Médiat m'assomme si j'ai dit une co...ie.

Si je peux rendre service

[Deedee81]

Tout ensemble est continu avec cette définition ! (mais nécessite une topologie)

Ah ben oui, évidemment

Si je peux rendre service

[PlaneteF]

Bonjour,

Parfois, je regrette qu'autant de messages sur le forum soient consacrés à répondre à des affirmations imprécises formulées par des gens qui ne connaissent pas vraiment le sujet et qui au lieu de poser des questions viennent expliquer ce qu'ils croient avoir compris comme une vérité révélée.

J'ai déjà vu sur un forum (pas sur Futura) quelqu'un commencer son message par "Je n'y connais pas grand chose en logique ..." et poursuivre par quelque chose du genre "... Gödel et patati et patata ...", ... " ... l'incomplétude et patati et patata ", ... " ... mais d'un autre côté la cohérence et patati et patata ...", ... "... et donc les mathématiques et patati et patata", ... "... ce qui veut dire que le savoir humain et patati et patata ... ", ... "... ce qui nous ramène aux propositions indécidables et patati et patata ...", ...




Petit aparté : Jacques Besnard a réalisé en 1975 un film intitulé : "C'est pas parce qu'on a rien à dire qu'il faut fermer sa gueule".


Cdt

[noumen]

Bonjour,

L'analyse ne peut se concilier avec l'intuition. Pour faire de l'analyse de manière impeccable, il faut "sacrifier" l'intuition, renoncer à elle une bonne fois pour toute. C'est une des règles du jeu des mathématiques, il faut l'accepter ou refuser alors de faire des maths. C'est pour cette raison que beaucoup de mathématiciens préfèrent le concept à l'image.

Des fonctions continues non dérivables, cela est conceptuellement possible mais il est impossible de s'en faire une représentation. Pour un mathématicien, ce n'est pas grave, là ou le physicien crierait surement au scandale.

C'est en cela que les mathématiques ont une forme de transcendance.
C'est pour cela aussi que les mathématiciens n'aiment pas les objets et préfèrent regarder les relations entre les objets, peu importe les objets au fond.

Mais bon, je ne dis là que des choses connues de tous...

[Deedee81]

L'analyse ne peut se concilier avec l'intuition. Pour faire de l'analyse de manière impeccable, il faut "sacrifier" l'intuition, renoncer à elle une bonne fois pour toute. C'est une des règles du jeu des mathématiques, il faut l'accepter ou refuser alors de faire des maths. C'est pour cette raison que beaucoup de mathématiciens préfèrent le concept à l'image.

Dans un article sur les espaces métriques, de l'Encyclopedia Universalis, ils introduisent le "langage géométrique" en précisant que c'est pratique car cela fait jouer l'intuition mais ils préviennent qu'il faut s'en méfier car il y a des situations totalement contre-intuitives (ils citent les étranges espaces ultramétriques).

là ou le physicien crierait surement au scandale.

.... quoi que

C'est pour cela aussi que les mathématiciens n'aiment pas les objets et préfèrent regarder les relations entre les objets, peu importe les objets au fond.

Je suis justement en train de potasser la théorie des catégories

[pm42]

Déjà, je remarque que tu ne réponds à aucune question qui t'a été posée.

L'analyse ne peut se concilier avec l'intuition. Pour faire de l'analyse de manière impeccable, il faut "sacrifier" l'intuition, renoncer à elle une bonne fois pour toute.

Absolument pas. J'ai bossé avec des mathématiciens au top dans leur domaine et au contraire, ils utilisaient massivement leur intuition.

Des fonctions continues non dérivables, cela est conceptuellement possible mais il est impossible de s'en faire une représentation

Parle pour toi.
J'en ai plusieurs représentations dans la tête et je me souviens d'avoir construit une fonction continue jamais monotone et jamais dérivable il y a longtemps. La construction a été intuitive et la démonstration rigoureuse.

Pour la petite histoire (et pour frimer un peu), c'était pour répondre à une question de quelqu'un qui a l'époque était en terminale et qui demandait si c'était possible. Depuis, il a eu une médaille Fields... Heureusement, j'était plus agé et je pouvais donc encore n'être pas ridicule face à lui

[pm42]

Je suis justement en train de potasser la théorie des catégories

C'est chouette. Tu sais que c'est utilisé en informatique massivement où on a le concept de monade et tout ? En fait, c'est la base théorique de la programmation fonctionnelle.

[illusionoflogic]

L'analyse ne peut se concilier avec l'intuition

C'est marrant comme "position épistémique", l'intuition ne serait pas partageable (d'après ton autre réponse), alors comment "interpréter" si ce n'est par une négation personnel ? Perso, j'ai de "l'intuition cartésienne", c'est peut être une aptitude, mais, effectivement, sans techniques, elle restera telle quelle, (non formalisée, et je suis pas sûr d'en avoir envie).

Je suis justement en train de potasser la théorie des catégories

Moi rien

[Deedee81]

Salut,

Tu sais que c'est utilisé en informatique massivement où on a le concept de monade et tout ? En fait, c'est la base théorique de la programmation fonctionnelle.

Ah non, tiens je ne savais pas (pourtant je travaille dans l'informatique). Il est vrai qu'en informatique de gestion.....

Moi rien

Il y a aussi la catégorie vide

[Qui]

Bonjour,

D'après wiki, la logique est l'étude d'inférence.
L'inférence est la transformation d'une prémisse en une conséquence à l'aide de règle (dîtes règles d'inférences).
A partir de là, je me pose la question, existe-t-il des raisonnements qui ne sont pas logique ?
Sachant qu'un raisonnement est la manière d'obtenir de nouveau résultat à partir de résultats déjà connu.

Un raisonnement qui ne respecte pas une règle d'inférence que son auteur prétend ou croit respecter .

Donc les sophismes ou les paralogismes, y-en a-t-il d'autre ?

Y-a-t-il d'autre type de raisonnement qui ne sont pas logique ?