Question naïve sur la différence entre représentation géométrique et représentation algébrique

[karlp]

Bonjour à tous

Je crois qu'intuitivement nous pensons tous être capable de différencier une représentation géométrique (par exemple le dessin d'un carré) d'une représentation algébrique (par exemple une lettre).
Pourtant, à titre personnel, si j'essaye de dire en quoi consiste cette différence je reste interdit.

Savez vous s'il existe une différence (d'ordre épistémologique) profonde entre ces deux types de représentations (le dessin d'un carré et une lettre), ou bien si leur différence n'est que superficielle ?

Je tiens à insister sur le fait que je n'évoque pas une éventuelle différence entre objet géométrique et objet algébrique, mais bien entre la représentation dessinée ou écrite de l'un et de l'autre.

(Cette question particulière s'inscrit pour moi dans le cadre plus général d'un questionnement sur la différence entre le signifiant et la lettre)

Merci !
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[Amanuensis]

Je ne comprends pas bien la question. (Et cela m'intéresse de la comprendre!)

L'exemple pris pour une représentation géométrique n'éclaire pas suffisamment sur la signification de cette expression. Le dessin d'un carré est une illustration, pas une représentation. Un dessin ne peut pas être utilisé pour quoi que ce soit d'autre ; par exemple, il ne peut pas entrer dans une démonstration formelle comme une lettre dans une expression algébrique.

[Dynamix]

Salut

d'une représentation algébrique (par exemple une lettre).

Algébrique ou alphanumérique ?
Δ c' est une lettre ou un triangle ?

[karlp]

Je ne comprends pas bien la question. (Et cela m'intéresse de la comprendre!)

L'exemple pris pour une représentation géométrique n'éclaire pas suffisamment sur la signification de cette expression. Le dessin d'un carré est une illustration, pas une représentation. Un dessin ne peut pas être utilisé pour quoi que ce soit d'autre ; par exemple, il ne peut pas entrer dans une démonstration formelle comme une lettre dans une expression algébrique.

Merci Amanuensis !

Je dois reconnaître que ma question n'est pas très bien posée*.
Malgré cela vous m'apportez un précieux indice en soulignant le fait que le dessin du carré ne peut pas, contrairement à la lettre en algèbre, entrer dans une démonstration formelle.

(* Je suis en train de travailler à la question de savoir si l'illustration géométrique grâce à laquelle Socrate met (dans le dialogue "le Ménon") l'esclave en position de découvrir comment construire une figure dont la surface sera le double de celle d'un carré, pourrait permettre d'illustrer le rôle joué par la lettre dans l'élaboration du savoir; je suis probablement engagé dans une mauvaise voie - mais grâce à vous je saurai pourquoi.
Je dois ajouter que j'avais lu, il y a très longtemps, un article qui m'avait étonné en posant que le statut de la figure dessinée en géométrie était analogue à celui de la lettre en algèbre - ce qui m'avait laissé sceptique. Fort malheureusement je ne retrouve ni le titre ni l'auteur.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[karlp]

Salut

Algébrique ou alphanumérique ?
Δ c' est une lettre ou un triangle ?

Delta est une lettre (dans mes représentations). Pouvez vous m'éclairer sur la signification que vous donnez à "alphanumérique" ?

[minushabens]

par exemple, il ne peut pas entrer dans une démonstration formelle comme une lettre dans une expression algébrique.

remarque qu'il n'y a rien qui s'y oppose: une démonstration formelle est une suite d'assemblages de symboles dans laquelle le passage d'un assemblage au suivant respecte certaines règles, mais rien ne dit que les symboles ne puissent être des symboles graphiques et les assemblages des dessins. Il est vrai que ce n'est pas l'usage actuel.

[Merlin95]

Socrate met (dans le dialogue "le Ménon") l'esclave en position de découvrir comment construire une figure dont la surface sera le double de celle d'un carré

Plus précisément, on recherche le carré dont la surface sera double de celle du carré initial.

[Amanuensis]

remarque qu'il n'y a rien qui s'y oppose: une démonstration formelle est une suite d'assemblages de symboles dans laquelle le passage d'un assemblage au suivant respecte certaines règles, mais rien ne dit que les symboles ne puissent être des symboles graphiques et les assemblages des dessins. Il est vrai que ce n'est pas l'usage actuel.

Il me semble qu'il y a une confusion.

Le dessin d'un carré peut être une "lettre" (pris au sens général de caractère d'imprimerie, ce qui est le sens qui me semble clairement être appliqué par Karlp), c'est par exemple U+25FB. À ce titre ce peut être utilisé comme n'importe quelle "lettre".

Mais je ne pense pas que ce soit l'interprétation correcte de la question de Karlp, il me semble qu'il est question de figure géométrique au même sens qu'on utiliserait pour une figure montrant la droite d'Euler (https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichie....EulerLine.svg), qu'on utilisera jamais comme caractère d'imprimerie. Le carré est juste un exemple choisi pour sa simplicité.

[karlp]

Je dois bien avouer être, en ce moment précis, incapable même de dire ce qu'est une lettre.
Votre référence, Amanuensis, à la possibilité d'en faire un caractère d'imprimerie est assez essentielle : par "lettre" j'entends un élément qui relève de la pensée articulée dans le langage et qui s'inscrit dans la réalité - inscription qui lui confère une "immobilité" qui rend possible un travail qui serait beaucoup plus malaisé si la pensée n'était pas inscrite mais seulement prononcée.
J'avoue que la suggestion de minushabens me séduit : mais c'est parce qu'elle me simplifie la tache.

Est-ce que la droite d'Euler peut être découverte sans tracer un triangle ? Est-ce qu'on peut découvrir une telle droite par un raisonnement qui ne s'aide pas de la figure du triangle ?

(Vous voudrez bien m'excuser de mon manque de clarté: je nage dans la plus grande confusion)

[Médiat]

Bonjour très cher karlp,

Je me demande (c'est donc bien une question) si votre question ne s'origine pas dans les méthodes analytiques de résolution de problèmes géométriques (*) ...

Si par représentation géométrique vous entendez un dessin (plus ou moins correct), en tant que support à l'intuition, je dirais qu'il n'y a aucune différence (de fond) entre tous les types de représentation que les mathématiciens peuvent utiliser (et à chacun les siennes), par contre on peut voir une différence mineure : la représentation géométrique (au moins pour les cas simples des géométries les plus simples) est accessible à tous, mathématicien ou non.


(*) Ce qui est un moyen de remplacer l'intuition par le calcul

[Amanuensis]

Quelques réflexions toutes personnelles, au cas où elles seraient utiles.

A- Lettre

Je propose une petite analyse, basée sur les pratiques de l'imprimerie. Il y a une sorte de suite croissante de généralisations, qu'on peut essayer de présenter comme suit:

Lettre stricto sensu: un élément d'un alphabet, dont les exemples typiques pour un Européens sont les alphabets latin, grec, cyrillique, hébreu ou arabe. Une lettre a de nombreuses représentations (dessins) différentes (notion de fonte, de casse, de graisse, etc.)

Caractère d'imprimerie: un dessin utilisé en imprimerie destiné à être analysé comme symbole au sein d'une suite linéaire de caractère d'imprimerie. La signification d'un tel symbole dépend (comme toujours) du contexte, mais sa position dans la page n'intervient que pour donner sa position dans l'ordre linéaire du texte. Cela inclut les lettres, les nombres, l'espace, des signes de ponctuation, des symboles spécifiques à des domaines, comme par exemple monétaire ($), mathématique (nabla), physique (hbar), etc. Accessoirement des règles supplémentaires donnent des significations à des variantes dans la représentation (gras, italique, etc.).

Autres symboles d'imprimerie: L'imprimerie ne se réduit pas à la notion de ligne constituée d'une suite de caractères, on constate aussi des usages où la position en deux dimensions intervient dans le sens. Les deux exemples principaux sont l'écriture européenne de la musique et les formules mathématiques. Cela demande à la fois des symboles (noire, blanche, croche, ...; intégrale, flèche, barre de fraction, ...) et des règles précisant comment la position par rapport à d'autres symboles affecte le sens (indices, exposants, flèche au-dessus d'une lettre, ...).

Mais tout utilisateur de LaTeX sait que ces "mises en page" peuvent se décrire par des commandes ad-hoc, qui sont bien des directives d'impression qu'il est difficile de percevoir comme de l'algèbre.

B- Figures de géométrie

Une figure de géométrie visant à illustrer des définitions ou des démonstrations de géométrie. En géométrie euclidienne classique, il s'agit d'une représentation approximative de points, lignes, cercles, etc., dessinée sur une surface plane (feuille, tableau noir) qui est une concrétisation d'une partie du plan euclidien.

Si on veut décrire, à fin d'impression, comment dessiner une telle figure, on va utiliser des commandes qui sont usuellement algébriques, par exemple parlant de coordonnées, et mentionnant explicitement des notions comme lignes ou cercles. Des exemples sont PStricks ou XY-pic dans l'environnement LaTeX, ou des "langages graphiques" dit "vectoriels", comme svg.

C- Le sens

L'usage de symboles en imprimerie, dans les textes linéaires, mais aussi dans les formules mathématiques ou les notations musicales, est strictement symbolique, il n'y a pas de relation directe entre ce qui est dessiné et ce qui est signifié. Il y a nécessairement des codes sous-jacents, permettant d'associer à un couple (symbole, contexte) une signification.

À l'opposé une figure de géométrie est une composition graphique constituée d'une partie "analogique" (points, lignes, ...) représentant approximativement des "objets" vivant dans le plan euclidien, et de symboles dont la position par rapport aux parties analogiques intervient dans la signification. Un ensemble de quatre segments s'organisant comme un carré dans une figure géométrique est un "objet" géométrique, et sa signification est analogique et non symbolique.

[Amanuensis]

Est-ce que la droite d'Euler peut être découverte sans tracer un triangle ? Est-ce qu'on peut découvrir une telle droite par un raisonnement qui ne s'aide pas de la figure du triangle ?

Désolé d'être tatillon, mais la question est contrafactuelle. Cette ligne a été découverte par des humains, et il est peu probable que ces humains ne se soient pas aidés de figures géométriques (au sens d'une représentation analogique).

On peut toujours faire jouer son imagination, et concevoir des êtres pensants non humains qui ne soient pas, comme nous, dominés par le sens de la vue et par des techniques comme le dessin, qui découlent des propriétés de notre vision. Ils pourraient découvrir la notion par d'autres moyens, purement algébriques par exemple.

On peut toujours proposer une démonstration textuelle rigoureuse en géométrie, sans jamais référer à une figure. Et donc imaginer la découverte de l'alignement décrit par la droite d'Euler sans figure.

[karlp]

Bonjour très cher Médiat

Bonjour très cher karlp,

Je me demande (c'est donc bien une question) si votre question ne s'origine pas dans les méthodes analytiques de résolution de problèmes géométriques (*) ...



(*) Ce qui est un moyen de remplacer l'intuition par le calcul

Vous répondez à plusieurs de mes questions (si je comprends bien ce que vous dîtes ) !

Est-ce que les méthodes analytiques de résolution des problèmes géométriques en passent par l'"algébrisation" des figures (via par exemple l'expression des sommets de la figure à l'aide de coordonnées cartésiennes) ? Si c'est bien de cela qu'il s'agit alors, effectivement, le texte auquel je faisais référence plus haut exprimait l'idée que cette algébrisation possible des figures tendait à nous faire admettre que la figure dessinée et l'écriture algébrique pouvaient être considérées comme "similaires" du point de vue de leur statu épistémologique (j'ai le désagréable sentiment d'exprimer les choses de façon très confuse).

Si par représentation géométrique vous entendez un dessin (plus ou moins correct), en tant que support à l'intuition, je dirais qu'il n'y a aucune différence (de fond) entre tous les types de représentation que les mathématiciens peuvent utiliser (et à chacun les siennes), par contre on peut voir une différence mineure : la représentation géométrique (au moins pour les cas simples des géométries les plus simples) est accessible à tous, mathématicien ou non.

C'est tout à fait ce que je voulais savoir : pas de différence de fond entre ces représentations (ce qui va peut être me permettre de traiter l'exemple du Ménon comme paradigme de l'impact de la lettre dans le savoir) .
Ce que vous ajoutez au sujet de la différence mineure présente un intérêt particulier dans le cadre de la pédagogie platonicienne et me conduit par ailleurs à considérer que la figure géométrique occupe peut être une position privilégiée au coeur du "nouage" entre les ordres du réel du symbolique et de l'imaginaire (là ou, peut-être, la lettre en algèbre fait une part moindre à cette dimension imaginaire, mais offre une possibilité dans le symbolique : remplacer l'intuition par le calcul)

Mes plus vifs remerciements à vous tous !

[minushabens]

Il me semble qu'il y a une confusion.

Le dessin d'un carré peut être une "lettre" (pris au sens général de caractère d'imprimerie, ce qui est le sens qui me semble clairement être appliqué par Karlp), c'est par exemple U+25FB. À ce titre ce peut être utilisé comme n'importe quelle "lettre".

en fait je ne pensais pas exactement à ca. Je me disais qu'on pouvait étendre la notion de démonstration formelle comme suite de formules à une suite de dessins, à condition de définir précisément les règles permettant de passer d'un dessin à un autre. C'est loin de ce qu'on appelle aujourd'hui démonstration, mais ça ne me paraît pas inconcevable.

[Amanuensis]

Je me disais qu'on pouvait étendre la notion de démonstration formelle comme suite de formules à une suite de dessins, à condition de définir précisément les règles permettant de passer d'un dessin à un autre. C'est loin de ce qu'on appelle aujourd'hui démonstration, mais ça ne me paraît pas inconcevable.

Ce serait intéressant de développer un exemple.

Faudrait préciser ce qui est caractéristique de la fin de la démonstration. Ce qui me vient à l'idée pour la droite d'Euler serait une affirmation du genre, après la pénultième étape, "la figure obtenue en ajoutant la droite définie par une paire de points parmi les trois ne dépend pas du choix de cette paire".

[Médiat]

Est-ce que les méthodes analytiques de résolution des problèmes géométriques en passent par l'"algébrisation" des figures (via par exemple l'expression des sommets de la figure à l'aide de coordonnées cartésiennes) ? Si c'est bien de cela qu'il s'agit alors, effectivement, le texte auquel je faisais référence plus haut exprimait l'idée que cette algébrisation possible des figures tendait à nous faire admettre que la figure dessinée et l'écriture algébrique pouvaient être considérées comme "similaires" du point de vue de leur statu épistémologique (j'ai le désagréable sentiment d'exprimer les choses de façon très confuse).

Oui, c'est exactement ce à quoi je pensais (mais de mon temps on disais plutôt méthode analytique plutôt qu'algébrique).

Je ne peux m'empêcher de citer une fois de plus Godement : "L'abstrait en mathématiques, c'est ce qui devient concret au bout de deux ans" (de là à dire qu'il suffit de 2 ans pour se construire une représentation manipulable aisément...).

[karlp]

Désolé d'être tatillon, mais la question est contrafactuelle. Cette ligne a été découverte par des humains, et il est peu probable que ces humains ne se soient pas aidés de figures géométriques (au sens d'une représentation analogique).

.

Vous avez raison de l'être (tatillon). Il n'est pas du tout indifférent que la question soit contrafactuelle. J'avais besoin de savoir si la figure avait joué un rôle décisif ou non : c'est un point qui est en relation directe avec ce que vous écrivez plus haut (et qui semble conforter ce que je suppose sur le rôle de la dimension imaginaire en géométrie):

À l'opposé une figure de géométrie est une composition graphique constituée d'une partie "analogique" (points, lignes, ...) représentant approximativement des "objets" vivant dans le plan euclidien, et de symboles dont la position par rapport aux parties analogiques intervient dans la signification. Un ensemble de quatre segments s'organisant comme un carré dans une figure géométrique est un "objet" géométrique, et sa signification est analogique et non symbolique

[karlp]

Oui, c'est exactement ce à quoi je pensais ((1) mais de mon temps on disais plutôt méthode analytique plutôt qu'algébrique).

Je ne peux m'empêcher de citer une fois de plus Godement : (2) "L'abstrait en mathématiques, c'est ce qui devient concret au bout de deux ans" (de là à dire qu'il suffit de 2 ans pour se construire une représentation manipulable aisément...).

(1) Ce doit toujours être le cas : je crois que c'est moi qui ait traduit "analytique" par "algébrique"
(2) Je crois que cette formule, qui semble simple au premier abord, a encore des choses à m'apprendre (le mot "concret" peut être entendu de plusieurs façons en même temps; mais ce n'est pas encore assez concret dans mon esprit )

[karlp]

en fait je ne pensais pas exactement à ca. Je me disais qu'on pouvait étendre la notion de démonstration formelle comme suite de formules à une suite de dessins, à condition de définir précisément les règles permettant de passer d'un dessin à un autre. C'est loin de ce qu'on appelle aujourd'hui démonstration, mais ça ne me paraît pas inconcevable.

Si jamais vous trouvez un exemple !! (j'ai entendu parler de certaines manières "exotiques" de pratiquer les mathématiques et peut être que ...?)

[Matmat]

en fait je ne pensais pas exactement à ca. Je me disais qu'on pouvait étendre la notion de démonstration formelle comme suite de formules à une suite de dessins, à condition de définir précisément les règles permettant de passer d'un dessin à un autre. C'est loin de ce qu'on appelle aujourd'hui démonstration, mais ça ne me paraît pas inconcevable.

Par exemple aux échecs les humains décident de leurs coups par des règles permettant de passer d'un "dessin" à un autre alors que les logiciels décident leurs coups de façon analytique mais on besoin de réaliser effectivement des milliards de calculs pour trouver le même coup que l'homme.

[Médiat]

(le mot "concret" peut être entendu de plusieurs façons en même temps; mais ce n'est pas encore assez concret dans mon esprit )

D'où ma suggestion dans la parenthèse (concret = manipulable par l'intuition grâce à un support, quel qu'il soit)

[stefjm]

Bonjour,

Il y a dans le sens physique vers géométrie la géométrisation et le programme d'Erlangen de Felix Klein.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Programme_d'Erlangen
http://math.univ-lyon1.fr/~eckes/Wey...20physique.pdf
http://images.math.cnrs.fr/Geometris...e-Gauss-a.html

[Paradigm]

Bonjour Amanuensis, bonjour à tous

Ce serait intéressant de développer un exemple.

Il semble que certain synesthètes spatio-numériques réalisent des calculs (inférence logique) à partir des "formes numériques" qu'ils perçoivent.

http://carnets2psycho.net/theorie/histoire34.html

Cordialement,

[stefjm]

Si on intègre la musique dans la géométrie, le cerveau calcule en écoutant .