Bonsoir,
J'aurais besoin de savoir si je suis plutôt dans le juste ou le faux.
Quand on parle d'espace vectoriel tous nos vecteurs partent nécessairement de l'origine; alors que pour de l'affine, les vecteurs sont issus premièrement de l'espace vectoriel associé pour être ensuite translatés.
Oui,
si on veut.
Mais en affine, il vaut mieux parler de points (c'est la classique géométrie, plane ou dans l'espace, généralisée). En ayant à l'esprit que c'est le même ensemble, vu de deux façons différentes. Si dans un espace affine, tu choisis une "origine" O, en associant au point M le vecteur OM, tu retrouves l'espace vectoriel. C'est tes "vecteurs de même origine"; mais attention, avec 2 points d'un espace affine, tu définis aussi un vecteur (et même généralement deux, suivant l'ordre des points).
Inversement, à partir d'un espace vectoriel, si tu "oublies" les opérations, tu as un espace affine. Dont tu connais déjà l'espace vectoriel associé.
Cordialement.
NB : Tout ça est très intuitif, lié à l'idée de représentation.
Bonjour,
Ne serait-il pas utile d'évoquer aussi la transformation affine.
Le même adjectif, utilisé pour deux notions légèrement différentes, peut prêter à confusion si on n'en parle pas.
Si on vise à passer aux mathématiques du supérieur, en particulier les géométries non affines (!), la vision à se faire est assez différente.
Un espace affine est un cas particulier de, disons, variété. On parlera alors préférentiellement de point pour les éléments un tel espace, et pas de vecteurs. Il n'y a pas de notion d'origine (penser par exemple aux points sur la Terre, ou aux points sur un cercle).
Un espace vectoriel est alors plutôt vu comme un espace de "directions", et la notion d'origine est alors intrinsèque (penser à une vitesse).
La possibilité de prendre un point d'un espace affine et de construire les autres par une translation, elle-même vue comme un vecteur, est spécifique aux espaces affines. Elle ne se généralise pas à d'autres "espaces géométriques". L'amalgame entre translations à longue distance (bipoints) et vecteurs n'est donc pas adapté si on vise à progresser vers des géométries non euclidiennes par exemple (par contre il reste un rapport étroit entre vecteurs et translations infinitésimales sur une variété en géométrie différentielle).
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Bref, comme souvent il y a plusieurs réponses à la question du message #1. Dans le cadre strict des géométries affines, "juste", dans un cadre plus large, "faux".
Dernière modification par Amanuensis ; 12/03/2013 à 12h04.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Merci pour vos explications respectives
Qu'entends-tu par translation à grande distance?Envoyé par Amanuensis
C'était juste en opposition à "translation infinitésimale". La notion de vecteur reste valable comme "translation pour aller d'un point à un autre" dans des espaces plus compliqués que les affines, mais seulement à la limite nulle. Si les points sont "loin l'un de l'autre" il peut rester une notion de translation, mais pas toujours assimilable à un vecteur.
Sans exemple pas facile de mieux expliquer. Et d'ailleurs mon but n'était pas d'expliquer les notions avancées, juste d'indiquer que l'approche présentée dans le message #1 était d'application limitée.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
