Proba: espérance d'une v.a X^2 avec X suivant la demi loi normale

[sylvain6120]

Bonjour,

J'aimerais déterminer quelle est l'espérance de la variable aléatoire avec la variable aléatoire soit telle que sa loi est une demi-loi normale, c'est-à-dire que sa densité de probablité soit:
si
et
sinon.

Autrement dit, , étant une variable aléatoire de loi normale .

Merci d'avance
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[toothpick-charlie]

je pense que ça ne sert à rien ici de partir de la "demi loi normale" puisqu'en élevant au carré tu perds le signe. La loi de X^2 est la loi du Chi-2 à 1 degré de liberté, sa moyenne est 1.

[sylvain6120]

Je souhaite justement perdre le signe, car si je mets au carré mais en gardant un signe négatif, l'espérance est bêtement égale à 0, car la fonction de densité de probabilité est paire et donc symétrique par rapport à 0.

[toothpick-charlie]

je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu fais. Comment une v.a. positive (un carré) pourrait-elle avoir une moyenne nulle, si elle n'est pas presque sûrement nulle?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je souhaite justement perdre le signe, car si je mets au carré mais en gardant un signe négatif, l'espérance est bêtement égale à 0, car la fonction de densité de probabilité est paire et donc symétrique par rapport à 0.

Manifestement, tu mélanges. La densité de probabilité de X² n'est pas paire, elle est nulle sur. Tout comme celle de X. Et si pour X on prend la loi Normale, la densité de X² est encore nulle sur. Quant à "si je mets au carré mais en gardant un signe négatif,", ça a peut-être un sens dans ta tête, mais ça ne veut rien dire.

Cordialement.

NB : "ce qui se conçoit bien s'énonce clairement ..." (Boileau). Beaucoup de difficultés en maths ne sont que de l'incompétence en français. En général, essayer de dire clairement, quitte à écrire 5 ou 6 phrases, résout le problème.

[invite1b1c2c52]

Excusez moi, mais j'ai besoin d'aide pour un DM de maths et je n'ai rien compris, est-ce-que vous pouvez m'aider , :s Merci

[gg0]

Onlythesky,

tu te crois où ? Et tu nous prends pour tes larbins ?
Tu as posé ta question sur l'autre forum à 16 h 52, on a tout notre temps pour te répondre, venir ici demander de l'aide (sans dire où est la question, ce qui est assez idiot !) n'est pas malin !!!

[sylvain6120]

La fonction de répartition de la variable aléatoire de Y n'est évidemment pas une fonction paire. Il en est de même pour la v.a. X dont la loi est une demi loi normale de paramètre .
Ma question est pourtant simple: je souhaite déterminer l'espérance de la v.a. Y, définie par : où est une v.a. dont la loi est une demi loi normale. La définition de la demi loi normale est donnée dans mon premier message.
Est-ce que c'est clair jusqu'ici?

L'espérance de est évidemment pas nulle (si ne tend pas vers ). Elle vaut: . L'espérance de n'est pas nulle non plus. Cependant, le calcul de sa valeur passe par une intégrale difficilement résolvable: où f(x) est la fonction de répartition de la v.a. X.
Ma question est de savoir s'il existe un moyen de trouver l'espérance de la v.a. Y sans passer par le calcul de cette intégrale.
Cette partie est-elle aussi claire?

Merci

[toothpick-charlie]

c'est 1 je te l'ai dit déjà.

[sylvain6120]

Permets moi de douter fortement de ta réponse. Si l'espérance est égale à 1, cela veut dire qu'elle ne dépend pas du paramètre . Or, il est évident que l'espérance de dépend de . Par exemple, si , de manière évidente: .
Merci donc d'être bien sûr de savoir de quoi je parle avant de répondre des banalités.

[leon1789]

Le calcul de l'intégrale donne

[sylvain6120]

Merci Léon!
C'est la réponse à laquelle je m'attendais.
Peux-tu me dire comment tu es arrivé à un tel résultat?

[leon1789]

On commence par intégrer par parties avec u = x et v' = x f(x)
puis on tombe sur une intégrale que l'on connait déjà...

[sylvain6120]

Merci, c'est plus simple que je pensais.
Je viens de remarquer que l'on peut arriver au même résultat en utilisant la propriété de la variance:.