algebre polynomes

[invite9fc95180]

salut je n'ai pas trouvé ube reponse pour cette question :
soit n dans N* , determiner Rn : le reste de la division euclidienne de X^n par (X-1)(X+3) !!!!
merci d'avance
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[Médiat]

Bonjour,

Difficile de vous répondre puisque l'on ne sait pas ce que vous avez tenté !

Question préalable : quel est le degré de ce reste ?

[invite9fc95180]

les seuls données que j'ai sont ecrites ! je pense qu'on ne peut pas trouver une solution avec ces données !

[Médiat]

Commencez par relire vos cours, vous avez toutes les informations nécessaires.

Je répète mes questions :

Qu'avez-vous fait ?
Quel est le degré de ce reste ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9fc95180]

le degré de ce reste est inférieur strictement à 2 !
donc c'est de la forme ax+b

[invite9fc95180]

si on considére que X^n=(x-1)(x+3).Q(x) + ax+b
on obtient b=3.Q(0) et a+b=1 !! aprés ?!

[Médiat]

Exact !

Il ne vous reste qu'à écrire sous forme d'équation la définition du reste ...

[invite9fc95180]

cet exercice est dans le cas des matrices ! j'ai verifié qu'une matrice M verifie (M-I)(M+3I)=0 avec I : matriice identité
puis il m'a demandé de chercher le reste de X^n par (X-1)(X+3) afin de deduire M^n donc je pense que je ne dois pas utiliser le reste en fonction du quotient !!

[NicoEnac]

Bonjour,

si on considére que X^n=(x-1)(x+3).Q(x) + ax+b
on obtient b=3.Q(0) et a+b=1

C'est dommage, il y a de l'idée.
En notant P(X) = (X-1)(X+3).Q(X) + a.X + b, on cherche à déterminer a et b tel que pour tout X, P(X) = Xⁿ.
Si c'est vrai pour tout X, n'y a-t-il pas 2 valeurs particulières qui permettent d'obtenir 2 équations indépendantes de Q(X) et ceci afin de trouver les 2 inconnues a et b ?

[invite9fc95180]

on peut avoir les inconnues a et b independament de Q(X) !!

[Médiat]

Oui ! En multipliant Q(X) par ... ?