algebre & polynomes

[.:Spip:.]

bonjour a tous.

J'ai un exercice, et a la question 3, j'avoue ne pas comprendre la formulation ...

je vous livre l'enoncé

soit : |R [X] ->|R [X] definie par :

pour tout P €|R [X] , (P)=P(X)-P(X-1) , n entier naturel

1/ verifier que phi est lineaire, et determiner le noyau de phi
2/ calculer phi(X^n) en deduire le degré de (P) en fonction de celui de P

jusque la je n'ai pas trop de soucis. mais ensuite l'enoncé pose :

3/ pour tout P € |R_n+1 [X] on pose
(P):= (P)=P(X)-P(X-1)

justifuer que psi est lineaire de |R_n+1 dans |R_n
Mq psi est surjective, en deduire que phi est surjective

en fait, ce qui me gene, c'est que psi defini une egalité. je ne voit pas l'interet de la chose, je ne vois meme pas ce que ca apporte de plus par rapport a phi

J'ai encore des soucis dans la suite de l'exo, je poserai ca ensuite ...

Merci d'avance
François
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[invite8b04eba7]

La fonction Psi est juste la restriction de phi à l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n+1.

Puisque phi diminue le degré d'un polynôme, on peut donc considérer Psi comme une application à valeur dans l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Et la linéarité de Psi peux se voir comme une conséquence de celle de phi.

L'interêt de cette manipulation réside dans le fait que le problème est ramené à l'étude d'une application entre espaces vectoriels de dimension finie. Par exemple, si tu montre que Psi est surjective (indépendamment de n), tu peux en déduire que phi l'est aussi (essaie d'y réfléchir).

Si tu as besoin de plus de détails, n'hésite pas à demander.

[invite59a8190a]

Salut, Ton exercice est un exercice classique d'applications linéaires.
On considère phi:R[X]-->R[X]
P---->P(X)-P(X-1)

R[X] étant l'ensemble des polynômes à coefficients réels.
Pour montrer que l'application phi est linéaire, d'après un résultat du cours, on prend deux polynômes P et Q dans R[X]² et a,b deux réels.
On veut montrer que phi(aP+bQ)=a*phi(P)+b*phi(Q). (définition d'une application linéaire). Donc
phi(aP+bQ)=(aP+bQ)(X)-(aP+bQ)(X-1)
on remarque bien que (aP+bQ)est dans R[X]
=a*P(X)+b*Q(X) -a*P(X-1) -b*Q(X-1)
=a*(P(X)-P(X-1))+b*(Q(X)-Q(X-1))
phi(P) phi(Q)
=a*phi(P)+b*phi(Q) d'où phi appartient à L(R[X]).
le noyeau de phi ne peut pas de déterminer à partir du théorème du rang car la dimension de R[X] n'est pa finie. Déterminons Ker phi.
soit P appartenant à R[X], on écrit,
P appartient à Ker phi <=> phi(P)=0
<=> P(X)-P(X-1)=0
<=> P(X)=P(X-1)
P est donc un polynôme constant vérifiant P(X)=P(X-1).
Ce qui mène à Ker phi={R0[X]}.
R0[X] (0 en indice) est l'ensemble des polynômes constants.
phi(X^n)=X^n-(X-1)^n
d'après la formule du binôme en développant (X-1)^n, on a (X-1)^n=somme de k=0 à n de (k parmis n)(-1)^(n-k)*(X)^k=(0 parmis n)(-1)^0(X)^n + (1 parmis n)(-1)^1(X)^(n-1)...=X^n+nX^(n-1)... d'où
X^n-(X-1)^n=X^n-X^n-nX^(n-1)...=-nX^(n-1)...
finalement deg(X^n-(X-1)^n)=n-1.
deg(phi(X^n))=n-1.
si deg(P)=n alors deg(phi(P))=n-1.

Psi est directement linéaire en disant simplement qu'elle est la restriction au départ à Rn+1[X] et la restriction à l'arrivée à Rn[X] de l'application phi, qui est linéaire. Psi est linéaire.
psi(P) = phi(P) = P(X)-P(X-1).
pour P dans Rn+1[X].
on a montré que si deg(P)=n alr deg(phi(P))=n-1=deg(psi(P)). d'où l'image par psi de tout polynôme de degrés inférieur ou égal à n+1 (Rn+1[X]) est un polynôme de degrès inférieur n (Rn[X]).
d'après le théorème du rang, on peut montrer que psi est surjective.
Le théorème du rang nous donne:
dim(Rn+1[X])=dim(Im(psi))+dim(Ker(psi)).
or psi est linéaire(restriction linéaire de phi...tralalal..) donc... Ker(psi)=R0[X]. et dim(R0[X])=0.
d'où dim(Rn+1[X])=dim(Im(psi)) => Rn+1[X]=Im(psi).
d'où tout polynôme de Rn[X] pouvant s'écrire sous la forme P(X)-P(X-1) a un antécédent par psi.
psi est surjective.

par la restriction des espaces d'arrivée et de départ...
phi est également linéaire.


C'est vrai que psi pose une égalité par rapport à phi.
l'étude peut sembler redondante en étudiant deux fois la même application, mais la différence se fait par la restriction des deux espaces. Ce qui permet SURTOUT l'application du théorème du Rang. C'est un exo très classique!! Ils sont tous dans le même genre! il faut bien le comprendre..
Ciao!!
jibounet

[invite6b1e2c2e]

Bienvenue à un petit nouveau !

Juste une petite remarque comme ça, faite par un vieux con qui a déjà plus de 400 messages sur le forum :
Si tu fais les exos qu'on te donne, le forum risque de se transformer non pas en espace de discussion, mais en résolution d'exo, ce qui n'apporte pas grand chose aux gens si on ne les laisse pas réfléchir un petit peu. Ceux qui savent doivent donc, au moins moralement, ne pas résoudre les exercices, mais juste guider vers une preuve. En plus, les gens qui demandent de l'aide seront bien plus contents d'avoir réussi un exo par eux-mêmes, même s'ils ont été un peu aidé.

Enfin, bon, je fais mon chieur, mais je te rassure, je le ferai plus
Bonne continuation sur le forum,

__
rvz

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