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algèbre



  1. #1
    jameso

    algèbre


    ------

    bonjour,

    je n'arrive pas à comprendre un truc:

    voila on se place dans K=Q[i*sqrt(15)] . On notera O l'anneau des entiers (à savoir Z[(1+i*sqrt15)/2] )

    en fait je cherche les ideaux de O qui contiennent 2 .
    donc en regardant le quotient O/2O on tombe sur F2[X]/(X²+X)

    en fait on a introduit un morphisme de la façon suivante :

    O--->O/2O------>F2[X]/(X²+X)

    on appelle f le morphisme de O dans F2[X]/(X²+X) qui à
    1+i*sqrt15)/2 associe x (la classe de X)
    D'ou sort ce morphisme ????

    ensuite je vois bien que les seuls idéaux de F2[X] qui contiennent <X²+X> sont <X> et <X+1>
    mais je n'arrive pas à calculer leur image reciproque par f ???

    bref pas mal de questions...
    merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    martini_bird

    Re : algèbre

    Salut,

    en regardant le quotient O/2O on tombe sur F2[X]/(X²+X)
    comment as-tu trouvé F2[X]/(X²+X) ? C'est pas plutôt F2[X]/(X²-X) ?

    De ce que j'ai compris tu considères le morphisme évaluation en :

    Et son noyau c'est plutôt (X²-X) non ?

    Ainsi tu as et les idéaux qui contiennent (2) sont les images par l'évaluation des polynômes qui contiennent . C'est pas plus simple dans ce sens ? Ou je dis des bêtises ?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    jameso

    Re : algèbre

    salut,

    Oui tu as raison , en fait on avait pris w=(-1+isqrt(15))/2
    c'est pourquoi j'avais mis X²+X ...dans la situation que je propose tu as totalement raison

    Après je suis un peu perdu dans tous ces morphismes.est ce la meme chose que de chercher les ideaux contenant 2 et les ideaux contenant (2)

    je vais y réfléchir

  5. #4
    martini_bird

    Re : algèbre

    Bah si un idéal I contient 2 tu es d'accord avec le fait qu'il contient tous les 2a avec a dans l'anneau ? Il contient donc (2).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    jameso

    Re : algèbre

    bon en fait je cherche le groupe des classes de O

    la seule chose qui va bien pour le moment c'est que O/2O est isomorphe à F2[X]/<X²-X>

    après je ne comprends pas ce qu'on a fait en TD
    on a dit
    O--->O/2O iso a F2[X]/<X²-X>
    w---------------->classe de X

    avec w comme tu l'as défini
    on a alors appelé f l'application qui va de O dans F2[X]/<X²-X> et qui à w associe classe de X


    puis on a calculé l'image réciproque par f de l'ideal engendré par classe de X et par classe de X+1

    on a donc trouvé <(1+isqrt15)/2, 2> et <(3+isqrt15)/2, 2>

    on en a conclu que 2O=le produit de ces deux derniers idéaux

    j'ai du mal à comprendre ce qu'on fait et c'est pourquoi je souhaitais avoir quelques éclairages..
    j'espère être à peu près clair ?

  8. #6
    martini_bird

    Re : algèbre

    En envoyant o sur l'image réciproque des idéaux (X) et (X-1) qui contiennent sont précisément les idéaux de o qui contiennent (2).

    Or l'image réciproque de X est tout simplement dans o/(2) et donc dans o. De même l'image réciproque de X-1 est dans o.

    Les idéaux de o qui contiennent 2 sont donc exactement (c'est l'avantage d'être passé par les polynômes) et .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  10. #7
    jameso

    Re : algèbre

    merci martini bird de ton aide, j'ai fini par comprendre comment ça marche.

    jameso

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