algèbre

[invitefa636c3d]

bonjour,

je n'arrive pas à comprendre un truc:

voila on se place dans K=Q[i*sqrt(15)] . On notera O l'anneau des entiers (à savoir Z[(1+i*sqrt15)/2] )

en fait je cherche les ideaux de O qui contiennent 2 .
donc en regardant le quotient O/2O on tombe sur F2[X]/(X²+X)

en fait on a introduit un morphisme de la façon suivante :

O--->O/2O------>F2[X]/(X²+X)

on appelle f le morphisme de O dans F2[X]/(X²+X) qui à
1+i*sqrt15)/2 associe x (la classe de X)
D'ou sort ce morphisme ????

ensuite je vois bien que les seuls idéaux de F2[X] qui contiennent <X²+X> sont <X> et <X+1>
mais je n'arrive pas à calculer leur image reciproque par f ???

bref pas mal de questions...
merci d'avance
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[invite4793db90]

Salut,

en regardant le quotient O/2O on tombe sur F2[X]/(X²+X)

comment as-tu trouvé F2[X]/(X²+X) ? C'est pas plutôt F2[X]/(X²-X) ?

De ce que j'ai compris tu considères le morphisme évaluation en :

Et son noyau c'est plutôt (X²-X) non ?

Ainsi tu as et les idéaux qui contiennent (2) sont les images par l'évaluation des polynômes qui contiennent . C'est pas plus simple dans ce sens ? Ou je dis des bêtises ?

Cordialement.

[invitefa636c3d]

salut,

Oui tu as raison , en fait on avait pris w=(-1+isqrt(15))/2
c'est pourquoi j'avais mis X²+X ...dans la situation que je propose tu as totalement raison

Après je suis un peu perdu dans tous ces morphismes.est ce la meme chose que de chercher les ideaux contenant 2 et les ideaux contenant (2)

je vais y réfléchir

[invite4793db90]

Bah si un idéal I contient 2 tu es d'accord avec le fait qu'il contient tous les 2a avec a dans l'anneau ? Il contient donc (2).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa636c3d]

bon en fait je cherche le groupe des classes de O

la seule chose qui va bien pour le moment c'est que O/2O est isomorphe à F2[X]/<X²-X>

après je ne comprends pas ce qu'on a fait en TD
on a dit
O--->O/2O iso a F2[X]/<X²-X>
w---------------->classe de X

avec w comme tu l'as défini
on a alors appelé f l'application qui va de O dans F2[X]/<X²-X> et qui à w associe classe de X


puis on a calculé l'image réciproque par f de l'ideal engendré par classe de X et par classe de X+1

on a donc trouvé <(1+isqrt15)/2, 2> et <(3+isqrt15)/2, 2>

on en a conclu que 2O=le produit de ces deux derniers idéaux

j'ai du mal à comprendre ce qu'on fait et c'est pourquoi je souhaitais avoir quelques éclairages..
j'espère être à peu près clair ?

[invite4793db90]

En envoyant o sur l'image réciproque des idéaux (X) et (X-1) qui contiennent sont précisément les idéaux de o qui contiennent (2).

Or l'image réciproque de X est tout simplement dans o/(2) et donc dans o. De même l'image réciproque de X-1 est dans o.

Les idéaux de o qui contiennent 2 sont donc exactement (c'est l'avantage d'être passé par les polynômes) et .

Cordialement.

[invitefa636c3d]

merci martini bird de ton aide, j'ai fini par comprendre comment ça marche.

jameso