Bonjour à tous !

Voilà j'ai un exercice d'algèbre linéaire et, comme cela fait un petit bout de temps que je n'ai pas fait d'algèbre linéaire, je bloque un petit peu. je vous serais donc reconnaissant de me donner quelques pistes. Voici l'énoncé :

On note et la base canonique de . On définit les polynômes suivants :

, , ,

En question1, j'ai calculé pour tous entiers et entre 0 et 3, j'ai montré que la famille était une base de , j'ai calculé la matrice de passage de à et j'ai calculé son inverse.

Question 2 :

On définit le polynôme : . On note l'application de dans lui-même qui, à tout polynôme , associe le reste de la division euclidienne de par .

(a) Montrer que est linéaire

Montrons que , , , c'est-à-dire que constitue le reste de la DE de par

=> ,
Donc .
est le quotient de la DE de par donc constitue le reste de la DE de par

(b) Démontrer que pour tout polynôme , on a :



=> D'après TH de division euclidienne, car donc . Or est une base de donc il existe tels que
Pour , on obtient . Or, car donc . On fait de même pour b,c et d.

(c) En déduire les composantes des polynômes dans la base . Quel résultat retrouve-t-on ainsi ?

Je ne comprends pas la question. On est censés retrouver les coefficients de la matrice de passage de à ?

Question 3 :

Soit un polynôme de . On désigne par l'application qui, à tout polynôme de associe , étant le reste de la division euclidienne de par .

(a) Démontrer que est un endomorphisme de

=> Même méthode que pour la 2)a) ?

(b) Calculer pour entre 0 et 3, . est-il diagonalisable ?

(c) On se place ici dans le cas particulier : . Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de .


Désolé je n'ai pas encore traité les 3 dernières questions, mais je voudrais bien savoir si les 2 premières questions de la question 2 sont bonnes et si vous pouviez me donnez quelques indices pour la 3ème.

Merci beaucoup !

ZimbABwé.