Algèbre polynômes

[invite9cbdcfe9]

Voila je bloque dès le début sur mon dm ce qui fait que je ne peux pas avancer. Je ne sais vraiment pas comment m'y prendre si vous pouviez me donner des pistes ca m'aiderait beucoup!
Voici lénoncé: Soit F et G appartenant a C[X] de degre respectif m et n ac m=>n>0
Montrer sans utiliser la divison euclidienne qu'il existe un polynome T de degre N-1 au plus tq F(A)=T(A) pour toute racine A du poylnome G.

2/Montrer(sans calcul trop complexes) que si b= (1-racine(5))/2 ou b= (1=racine(5))/2 alors b^5 + b^3 +b+1=8b+5

Merci d'avance!
-----

[invite57a1e779]

Le polynôme T est déterminé par interpolation, on impose ses valeurs, par T(a)=F(a), en au plus n points, les racines de G.

On peut donc construire (interpolation de Lagrange par exemple) un tel polynôme T, de degré au plus n-1.

[invite9cbdcfe9]

Excuse moi la question est peut etre bete mais qu'est ce que tu entends par "T est déterminé par interpolation" ?

[invite57a1e779]

Interpoler c'est trouver une fonction qui prenne des valeurs données en des points donnés.

Par exemple, dans la deuxième question, tu cherches T(X)=pX+q avec comme condition la valeur en deux points et .

Tu peux écrire les équations pour chacune des valeurs de b, et obtenir un système. Dans le cas général, si tu as r équations, une pour chaque racine de G, tu obtiendras un système de Vandermonde qui te fournira un polynôme de degré au plus r-1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Pas besoin de faire des claculs aussi compliqués pour le 2. Les valeurs de b données sont les solutions de l'équation de Fibonacci : b²=b+1, on en déduit facilement le résultat demandé.