Espérance, loi.

[invitebb921944]

Bonjour
J'ai deux variables aléatoires à valeurs dans R : X et Y-X

Je sais que :
E[X]=a
E[Y]=2a

alors E[Y-X]=E[Y]-E[X]=2a-a=a

Puis-je dire que puisque X et Y-X ont même espérance, alors elles ont même loi ?
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[indian58]

Puis-je dire que puisque X et Y-X ont même espérance, alors elles ont même loi ?

non, c'est faux.

[invitebb921944]

Dans ce cas j'écris l'exercice en entier :

Soit U=(X,Y,Z) une v.a. gaussienne à valeur dans R^3 d'espérance (a,2a,3a) et de matrice de covariance :
(1 1 1)
(1 2 2)
(1 2 3)

Je dois montrer que la v.a. V=(X,Y-X,Z-Y) est gaussienne, donner son esperance, sa matrice de covariance et en déduire que les v.a. X, Y-X, Z-Y sont indépendantes et de même loi.

Je trouve la matrice A à coefficients dans R qui vérifie :
V=AU

Alors E[V]=AE[U]=(a,a,a)
Soit M(P) la matrice de covariance de la v.a. P :

M(V)=AM(U)transposée(A)=
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)

M(V) est diagonale, donc X, Y-X et Z-Y sont non corrélées et puisque V est un vecteur gaussien, elles sont indépendantes.

Pour ce qui est de prouver qu'elles ont même loi, je ne vois pas vraiment...

Merci de m'avoir aidé !

[invitec5eb4b89]

Une v.a. gaussienne a aussi comme propriété d'être complètement caractérisée par sa moyenne et son écart-type. Donc si deux variables gaussiennes ont même moyenne et variance, alors elles suivent la même loi ! ce n'est pas vrai pour des variables aléatoires quelconques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Merci beaucoup !