Mécanique, espace affine, espace vectoriel

[invited17825bc]

Bonsoir,

J'aimerais faire le lien entre ce que nous avons étudié en géométrie (espaces vectoriels, espaces affines, etc...), et l'application que nous en faisons dans les cours de mécanique classique.

1) Pour un référentiel donné, à quoi correspond l'espace affine? S'agit-il de l'ensemble des points de "l'espace physique"? Ou bien a-t-on, au préalable, associé à chaque point de l'espace physique, un point de R^n? (Je parle ici bien de l'espace affine, pour lequel nous n'avons pas encore fixé de repère).

2) A quoi correspondent les vecteurs que nous utilisons en mécanique (vecteur position par exemple)? (cette seconde question découle de la 1ere...) S'agit-il d'éléments de R^n? Ou bien de "flèches géométriques" définies en tant que telles?

Vous ne vous imaginez pas l'importance philosophique que ces questions ont pour moi!

D'avance merci pour vos réponses
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[Amanuensis]

1) Pour un référentiel donné, à quoi correspond l'espace affine? S'agit-il de l'ensemble des points de "l'espace physique"?

Oui, l'espace physique est un espace affine.

Ou bien a-t-on, au préalable, associé à chaque point de l'espace physique, un point de R^n?

Non. Une telle procédure, si faite de manière à respecter les droites, est exactement le choix d'un repère. On peut voir un repère comme une bijection entre l'espace affine et R^n, et distinguer les éléments de l'espace affine (les points) et les éléments de R^n (les n-uplets de réels).

2) A quoi correspondent les vecteurs que nous utilisons en mécanique (vecteur position par exemple)? S'agit-il d'éléments de R^n? Ou bien de "flèches géométriques" définies en tant que telles?

Il s'agit bien de "flèches géométriques", qui ont un sens en dehors et indépendamment de tout système de coordonnées. Un vecteur comme une vitesse est un élément de l'espace vectoriel associé à l'espace affine ; cet espace vectoriel se définit algébriquement sans avoir à faire intervenir R^n.

[invited17825bc]

Merci beaucoup, je dois dire que la réponse me rassure

Une dernière petite question... Pourquoi s'amuse-t-on à construire un système d'axes? Ca ne représente rien d'autre que le prolongement des vecteurs à partir du point d'origine je suppose... ?

[Amanuensis]

Pourquoi s'amuse-t-on à construire un système d'axes? Ca ne représente rien d'autre que le prolongement des vecteurs à partir du point d'origine je suppose... ?

Oui. (Plus précisément les droites issues de l'origine et ayant comme vecteurs directeurs les vecteurs de la base choisie pour l'espace vectoriel associé.)

J'imagine que les axes rappellent les dessins qu'on fait sur une feuille pour repérer un point par quadrillage. (Cela peut d'ailleurs être très pratique, cf. xxxxxxxxxxxxxx, trouvé là)

D'un point de vue pédagogique, il y a un passage progressif du "concret" (quadrillage sur une feuille) jusqu'à l'abstraction mathématique la plus poussée (espace affine défini abstraitement à partir d'axiomes). Tous les élèves ne progressent pas de la même manière, et nombre sont les personnes qui ne sont pas intéressées par l'abstraction la plus poussée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Merci de respecter les règles pour l'insertion des pièces jointes : http://forums.futura-sciences.com/ma...s-jointes.html

Médiat, pour la modération.

[invited17825bc]

Bonsoir bonsoir, c'est encore moi! (les questions me viennent au fur et à mesure, j'en suis désolé )

Si on considère 2 référentiels distincts. L'espace affine de l'un (càd l'ensemble des points de l'espace) ne correpondra pas à l'espace affine de l'autre au cours du temps (sauf si biensur, on prend une "photo" à un instant précis, dans ce cas, il s'agira du même espace affine) vu que les points de l'espace sont fixes du point de vue de chacun des réferentiels... Cela me parait assez étange, non? Néanmoins, les 2 référentiels auront le même espace vectoriel (autrement dit, un vecteur sera identique, quelque soit le référentiel) à tout moment si je ne dis pas de betises... Eclairez-moi, je suis perdu

[gg0]

Bonsoir.

Tiens ! Moi j'aurais plutôt pensé que c'est le même espace affine et des repères affines différents. Et donc le même espace vectoriel sous-jacent.
Mais la mécanique a peut-être changé depuis mon jeune temps.

Cordialement.

[invited17825bc]

Je précise que ces choses ne figurent pas dans mon cours de mécanique, j'extrapole (et donc, des betises sortent probablement de mes propos^^). Je cherche juste à avoir quelques compléments d'info sur le sujet

[Amanuensis]

Si on considère 2 référentiels distincts. L'espace affine de l'un (càd l'ensemble des points de l'espace) ne correpondra pas à l'espace affine de l'autre au cours du temps (sauf si biensur, on prend une "photo" à un instant précis, dans ce cas, il s'agira du même espace affine) vu que les points de l'espace sont fixes du point de vue de chacun des réferentiels... Cela me parait assez étange, non? Néanmoins, les 2 référentiels auront le même espace vectoriel (autrement dit, un vecteur sera identique, quelque soit le référentiel) à tout moment si je ne dis pas de betises... Eclairez-moi, je suis perdu

Il me semble que vous tombez sur un point important, rarement expliqué. Le modèle de l'espace-temps de la mécanique classique ne correspond pas à un "espace" pensé de manière naïve. L'espace-temps classique n'est pas un simple produit cartésien d'une dimension temporelle et d'un espace affine 3D.

Si on prend un instant donné, on peut définir un espace 3D de lieux, c'est un espace affine, pas de problème. Si on prend deux instants différents, la mise en correspondance des points des deux "espaces" n'est pas unique, elle dépend du référentiel choisi. La modélisation correcte fait appel à des notions mathématiques non triviales (ou du moins pas enseignées très tôt), les fibrés et les connexions.

Mais l'espace vectoriel 3D associé n'est pas "unique". Cela se voit sur les vitesses : une vitesse nulle selon un référentiel n'est pas nulle dans un autre, ce qui ne permet pas une correspondance par automorphisme en 3D.

Ce dont vous parlez à propos des vecteurs "identiques" marche bien pour la taille d'un objet par exemple, mais pas dans d'autres cas. (Les cas qui marchent sont quand on prend deux points "au même instant" ; autrement dit l'espace pris à un instant donné est le même pour tous les référentiels, les problèmes apparaissent avec des instants différents.)

Par contre il y a une structure affine (des droites) 4D qui est "unique", ces droites sont les trajectoires de vitesse uniforme d'une part, et les droites spatiales à un instant donné. Un changement de référentiel ne change pas l'ensemble de ces "droites". L'espace vectoriel associé 4D est bien unique, et on peut voir un référentiel comme une classe de choix particuliers de "base", de mise en rapport avec R^4.

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Je ne sais pas trop si je réponds correctement. Ce ne sont pas des notions considérées comme très utiles pour la mécanique classique. (Par contre ces idées sont importantes pour le passage aux modèles de l'espace-temps de la relativité.) Si cela ne correspond pas à ce que votre intuition vous fait entrevoir, comme il est possible vu vos questions, je suis en train de vous plonger dans la confusion ! Par contre, si je que j'essaye d'expliquer vous parle, vos interrogations sont normales (et même remarquables), et ont des réponses avec des modélisations approfondies de l'espace-temps de la mécanique classique.

Ce texte : http://semioweb.msh-paris.fr/corpus/...restreinte.pdf, pourrait bien répondre à vos attentes, en particulier la partie sur l'espace-temps de Leibniz (page 4).

[Amanuensis]

Il y a un passage où j'ai oublié une précision importante (correction en rouge ci-dessous) :

Par contre il y a une structure affine (des droites) 4D qui est "unique", ces droites sont les trajectoires de vitesse uniforme d'une part, et les droites spatiales à un instant donné. Un changement entre référentiels inertiels ne change pas l'ensemble de ces "droites". L'espace vectoriel associé 4D est bien unique, et on peut voir un référentiel comme une classe de choix particuliers de "base", de mise en rapport avec R^4.

Les référentiels inertiels sont ceux qui respectent la structure affine 4D, au sens où un mouvement inertiel est bien décrit par une droite (en termes de coordonnées par une relation M(t) = M(0)+vt, où v est un vecteur 3D).

[invited17825bc]

Je vous remercie pour vos réponses, elles sont très complètes et répondent parfaitement aux problèmes que je me pose (ce qui est plutôt rare je dois dire^^).
Je viendrai refaire un tour par ici en cas de nouvelle interrogation (ce qui risque de ne pas tarder, j'aime faire des ponts entre les différents cours (surtout avec les cours de math, bien que je ne sois qu'aspirant physicien ).