espace affine

[invite572ebd1a]

Bonsoir,

Je dois démontrer le théorème de Ceva: Soient ABC un triangle, A' appartient à (BC), C' à (AB) et B' à (CA). Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes si et seulement si



où A'B, A'C, B'C, B'A, C'a et C'B sont des mesures algébriques.

On considère l'espace affine euclidien A(R^3) rapport à un repère (O,i,j,k) noté Oxyz.

Quelqu'un m'a dit de procéder de la manière suivante:

On peut prendre par exemple le repère affine (A, AB (vecteur), AC (vecteur) )

1. Calcul l'équation de la droite (BC)
2. Calcul des coordonnée de A', B', et C' en utilisant un paramètre
3. Calcul A'B/A'C , B'C/BA et C'A/C'B
4. Trouver les équation des droite (AA'), (BB') et (CC').
Calcul du déterminant pour que ces trois droites soit concourrantes et on doit trouver en théorie le résultat

Mais je n'arrive pas à trouver l'équation de (BC) :marteau:

Quelqu'un peut m'aider?
Merci.
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[invite2031b66f]

salut,
dans ton repère:
B(1,0)
C(0,1) et donc la droite (BC) a pour équation y= -x+1. Si dans le supérieur tu ne retrouves pas ça facilement, attention.



en fait, (BC): y=ax+b
b est l'ordonnée à l'origine, soit yC=1
tu déduis le a (la pente) du taux d'accroissement entre les points C et B, évident ici ...

[invite572ebd1a]

Ah oui en effet.

Par contre je ne vois pas bien comment trouver les coordonnées de A', B', et C'. Je pense qu'il faut se servir des équations de (BC), (CA) et (AB) mais cela suffit-il?

[invite2031b66f]

pourtant c'est pas sorcier. Toujours dans ton repère (A,AB,AC),
C' appartient à (AB) signifie que son ordonnée est nulle. ses coord sont donc de la forme (c',0).
même raisonnement pour B'.
Pour A' c'est un peu plus compliqué, mais d'apres la premiere question A' vérifie l'équation de la droite (BC), d'où une relation entre l'abscisse de A' et l'ordonnée.
Une fois que t'as les coordonnées des points, il est facile d'avoir une équation, mais on ne te demande pas ça dans un premier temps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite572ebd1a]

En fait pour B' et C' j'avais trouvé mais A' me pose problème, j'ai
je ne vois pas comment trouvé les coordonnées de A'.

[invite2031b66f]

il faut que tu détermines les coordonnées de A' en utilisant un paramètre.
soit a' l'abscisse du point A'
alors A'(a'; -a'+1) car les coordonnées de A' vérifient l'équation de la droite (BC).
Dans un premier temps c'est tout ce que tu peux faire (tant que tu ne supposes pas que les 3 droites sont concourrantes)

[invite572ebd1a]

ah oui d'accord

pour les rapports je trouve:

A'B/A'C=a'-1/a'
B'C/BA=1-b'/b'
C'A/C'B=c'/1-c'

est-ce que c'est correcte?

[invite2031b66f]

je pense que c'est ça, mais prudence avec les mesures algébriques.

en terme de distance (postif), tu as:
A'B/A'C= abs( a'-1 / a' ) où abs(.) représente la valeur absolue. Note également que a' doit être différent de 0 pr la rédaction...
en terme de mesure algébrique, tu as :
A'B/A'C= "+ ou -" abs( a'-1 / a' ) selon l'alignement des points A', C et B.

[invite572ebd1a]

D'accord merci,

pour la suite j'ai trouvé:

(AA'): x(1-a)-ay=0
(BB'): bx+y-b=0
(CC'): x+cy-c=0

par contre je bloque un peu pour le déterminant

|1-a' -a' 0|
|b' 1 -b'| = 0
|1 c' c'|

je trouve c'(1+b')-a'(c'-b')=0
et après je ne sais pas quoi faire.