Classification des courbes.

[invite76543456789]

Bonjour,
Je suis a la recherche d'information sur la classification des courbes (lisses) sur F_p. Cette classification a t elle ete achevée? Connaissez vous un article ou un livre qui donne une introduction a ces questions?
Merci.
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[0577]

Bonjour,

il existe un "espace" (un champ de Deligne-Mumford) de modules pour les courbes
projectives lisses de genre g, qui est defini et de type fini sur .
Il faut preciser ce que signifie espace de modules. Pour tout k corps algebriquement clos, on
a une bijection entre l'ensemble des classes de k-isomorphismes de courbes de genre g definies sur k
et les k points de . Mais ce n'est pas vrai pour un corps non-algebriquement clos,
par exemple un corps fini.
En general, on a toujours une application de l'ensemble des classes de k-isomorphismes de courbes de genre g definies sur k
vers mais ce n'est en general ni une surjection ni une injection.
Le defaut d'injectivite est facile a comprendre. Soit K une cloture algebrique de k, deux courbes s'envoient
sur le meme point si et seulement si elles sont K isomorphes (ce qui n'implique pas k isomorphe,
les fibres de l'application sont en fait en bijection avec des groupes de cohomologie galoisienne
qui decrivent ce phenomene).
Pour k un corps fini, est fini (car de type fini ) et tous les groupes
de cohomologie galoisiennes sont finis, on en deduit qu'il n'existe qu'un nombre fini
de classes de k-isomorphismes de courbes de genre g definies sur k ce qui est deja quelque chose de non-trivial
si on y reflechit bien ...

Ensuite, tout depend de ce qu'on appelle classifier. On a un espace de modules qui donne partiellement une reponse
mais c'est un objet assez abstrait qu'on ne comprend pas forcement (je crois mais je ne suis pas sur qu'on ne connait pas
le nombre de classes de k-isomorphismes de courbes de genre g definies sur k ).
On peut se demander si par exemple il existe des invariants permettant de
distinguer des courbes. Comme on est sur un corps fini, on a par exemple la fonction zeta.
On a alors des questions naturelles : quelles sont les fonctions zetas possibles et que peut-on
dire de deux courbes qui ont la meme fonction zeta ?
Pour les courbes elliptiques (g=1), on a une reponse complete par la theorie de Honda-Tate qui permet
de decrire les classes d'isogenies.
En associant a une courbe sa jacobienne, on obtient par le theoreme de Torelli une injection
de l'ensemble des courbes dans l'ensemble des varietes abeliennes principalement polarisees.
La question de depart est donc un cas particulier du probleme de classification des varietes
abeliennes principalement polarisees sur un corps fini. La theorie de Honda-Tate resout en gros en
termes de fonctions zeta la question de la classification des varietes abeliennes mais
malheureusement pas celle des varietes abeliennes polarisees (la fonction zeta ne voit pas la polarisation).

[invite76543456789]

D'accord, merci!
Je ne pensais pas que la réponse était aussi sophistiquée (deja un schéma ca me fait un peu peur, alors des champs...), je vais la méditer un peu, et essayer de la decortiquer.

[0577]

Bonjour MissPacMan,

qu'appelles-tu une classification non "sophistiquee" ? Peux-tu donner un exemple ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76543456789]

Oh, ben des classifications non sophistiqués y en a plein quand meme! Celle des k-ev de dimension finie par exemple .

Blague a part, je savais pas trop à quoi m'attendre, je connaissais un peu comment ca se passe pour les courbes algébriques sur C (enfin surtout les courbes projectives lisses de genre 1, elliptique donc, qui sont effectivement classé par leur genre, 1 donc, puis par un point sur la courbe modulaire, j'avais entendu dire que c'etait le prototype général, on a un invariant discret, le genre, puis ensuite un "espace de module" pour les courbes algébriques complexes, projectives lisses, donc finalement je vois grosso modo ce que vous voulez dire pour les courbes sur F_p), en fait je pensais naïvement que la question etait plus facile sur F_p que sur C.

[0577]

Bonsoir,

d'un point de vue algebrique, c'est plus facile pour C par ce que C est algebriquement clos
(contrairement a un corps fini) autrement dit il n'y a pas de difficultes de nature "arithmetique".

Sur C c'est egalement plus facile parce qu'on peut faire de l'analyse. Une courbe projective lisse
sur C etant la meme chose qu'une surface de Riemann, on cherche a classifier les surfaces de Riemann.
La theorie de Teichmuller donne une description tres explicite de l'espace de modules : c'est le quotient
d'un espace vectoriel complexe (l'espace de Teichmuller) par le mapping class groupe (par cette
methode, on obtient l'ensemble des C-points et pas la strucuture algebrique). On peut en deduire
des descriptions combinatoires assez explicites de l'espace de modules.
Encore un autre point de vue : d'apres le theoreme d'uniformisation, une surface de Riemann est la meme
chose qu'une metrique a courbure constante sur une surface topologique compacte orientee.
Pour genre >1, cela signifie que l'espace des modules est l'ensemble des metriques hyperboliques possibles,
ce qui peut se parametrer de maniere tres concrete en termes de longueurs de geodesiques.

Conclusion : le cas le plus simple est vraiment C, simple du point de vue de la geometrie algebrique mais
aussi simple parce que on peut utiliser d'autres outils que la geometrie algebrique ...