Différence entre base, représentation et point de vue en MQ

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

Je lis simultanément Dirac, Weyl, et quelques ouvrages plus récents, et je réalise que je comprends mal la différence (au sens mathématique) entre une base (système de coordonnées), une représentation (impulsion, position,...), et un point de vue (Schrödinger, Heisenberg, ...).

Disons, les changements de base, de représentation ou de point de vue font tous intervenir une transformation unitaire. Ça c'est clair pour moi. Il doit donc y avoir un groupe de symétrie, qui se note surement U, derrière tout ça...

Parfois, j'ai l'impression que représentation et base sont synonymes : Si j'exprime mes opérateurs et mes vecteurs dans la base des vecteurs propres de la position, j'obtiens (il me semble) ce qu'on appelle la représentation de la position. D'autres fois, j'ai l'impression que la représentation et la base sont très différents : un changement de base transforme un ensemble d'opérateurs et de vecteurs en LE MÊME ENSEMBLE, seulement avec une description différente; d'un autre côté, un changement de représentation peut me faire passer d'un ensemble d'opérateurs et de vecteurs à UN AUTRE ensemble (ex. : position -> impulsion).

Il semble donc que choisir une base puisse être synonyme de choisir une représentation. Mais changement de base n'est pas synonyme de changement de représentation. Jusque là, c'est exact?

Si, déjà avec ce que j'ai écris, vous avez des précisions à me donner, elles sont les bienvenues.

Cordialement,

Simon

PS: Y a-t-il un sous-groupe de U qui envoie un opérateur sur un autre, de sorte qu'ils ne commutent pas? De même, y a-t-il un sous-groupe de U qui envoie un opérateur sur un autre opérateur de sorte qu'ils commutent?
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[invite9c9b9968]

Hello Simon,

Ça faisait un moment, rebienvenue chez nous

Pour ma part représentation position/impulsion et changement de base c'est pareil : ce qui définit la réprésentation c'est la base de vecteurs propre d'un des opérateurs conjugué utilisée .

Par contre, il me semble que le point de vue est une autre histoire, car une histoire de dépendance en fonction du temps intervient.

[invite8ef93ceb]

Salut Gwyddon,

en fait, à force de chercher, je réalise que c'est probablement Dirac qui me mélange.

Dans son livre Les Principes de la Mécanique Quantique (Jacques Gabay, 1990) il fait une nette différence entre la transformation de contact (p.59) et la transformation canonique (p.90).

J'ai (peut-être mal) compris que la transformation de contact correspond à un changement de représentation, alors que la transformation canonique correspond à un changement de base.

C'est cet extrait qui m'a fait tiré ces conclusions:

Les passages d'une représentation à une autre, que nous avons examinées, peuvent être appelés transformation canonique. Il faut prendre garde de ne pas les confondre avec les transformations de contacts définies à la section 19, comme on le faisait souvent dans les premiers mémoires sur la mécanique quantique. Mathématiquement, les deux types de transformation ont la même forme [...]; au fond, elles ont des significations totalement différentes. Une transformation canonique transforme une représentation d'un certain nombre d'observables en une autre représentation des mêmes observables; une transformation de contact est un passage d'un système d'observables à un autre système, différent du précédent.

Je dois avouer que je n'ai pas vraiment de mots pour expliquer mon incompréhension face à cet extrait. Lorsqu'il parle du passage d'un système d'observables à un autre système, différent, cela pourrait-il inclure le passage de la représentation P à la représentation X? Si oui, alors comment cela peut-il être un transformation unitaire qui doit, en principe, transformer une observable en une autre qui a les mêmes valeurs/vecteurs propres?

Je suis certain que c'est un mini truc qui m'échappe...

[mamono666]

J'ai pris le cohen-tannoudji:

Choisir une représentation, c'est choisir une base orthonormée, discrète ou continue, dans l'espace des états. Les vecteurs et opérateurs sont alors représentés dans cette base par des nombres: composantes pour les vecteurs, élémens de matrice pour les opérateurs.

Donc je suppose que si tu changes de base, tu changes de représentation. Par contre la matrice de symétrie...j'ai des doutes, je ne crois pas qu'il en soit question ici.

Mais ca représente effectivement le meme ensemble, par exemple:
à pour base:



Mais aussi cette base:



Ce sont deux bases du meme ensemble.

Pour le "point de vue", je crois qu'il n'y a pas de lien. C'est juste le point de vue des deux scientifique, mais la notion de base et représentation n'est pas impliqué ici.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

Bonjour,

Je lis simultanément Dirac, Weyl, et quelques ouvrages plus récents, et je réalise que je comprends mal la différence (au sens mathématique) entre une base (système de coordonnées), une représentation (impulsion, position,...), et un point de vue (Schrödinger, Heisenberg, ...).

Disons, les changements de base, de représentation ou de point de vue font tous intervenir une transformation unitaire. Ça c'est clair pour moi. Il doit donc y avoir un groupe de symétrie, qui se note surement U, derrière tout ça...

Parfois, j'ai l'impression que représentation et base sont synonymes : Si j'exprime mes opérateurs et mes vecteurs dans la base des vecteurs propres de la position, j'obtiens (il me semble) ce qu'on appelle la représentation de la position. D'autres fois, j'ai l'impression que la représentation et la base sont très différents : un changement de base transforme un ensemble d'opérateurs et de vecteurs en LE MÊME ENSEMBLE, seulement avec une description différente; d'un autre côté, un changement de représentation peut me faire passer d'un ensemble d'opérateurs et de vecteurs à UN AUTRE ensemble (ex. : position -> impulsion).

Il semble donc que choisir une base puisse être synonyme de choisir une représentation. Mais changement de base n'est pas synonyme de changement de représentation. Jusque là, c'est exact?

Si, déjà avec ce que j'ai écris, vous avez des précisions à me donner, elles sont les bienvenues.

Cordialement,

Simon

PS: Y a-t-il un sous-groupe de U qui envoie un opérateur sur un autre, de sorte qu'ils ne commutent pas? De même, y a-t-il un sous-groupe de U qui envoie un opérateur sur un autre opérateur de sorte qu'ils commutent?

Le truc c'est surtout que le terme "représentation" (et je viens de m'en rendre compte grace à toi) est peut être utilisé un peu à tord et à travers...
Autant, comme tu le soulignes, les représentations {|q>} et {|p>} sont bien définies autant lorsqu'on parle de représentation d'intéraction par exemple, il y a clairement un problème puisqu'on devrait dire "point de vue d'intéraction" qui est le point de vue entre celui de heisenberg et celui de schrodinger.

P.S: je ne comprends pas non plus ce qu'est une transformation de contact dans ta citation.

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

merci pour vos réponses.

Gatsu, je me disais justement que l'utilisation du mot représentation est abusive... en fait, c'est tout à fait synonyme de base.

Mais en même temps, je ne saurais prendre le risque d'affirmer que cela n'a rien à voir avec la représentation d'un groupe. La représentation matricielle est (peut être?) une représentation du groupe des transformations unitaires. Cette représentation est introduite dans tous les livres de MQ. Si on prend l'exemple du photon dans une boîte, grosso modo, on se retrouve avec une représentation de la position qui agit sur des fonctions (le spectre est continu) et une représentation de l'impulsion qui agit sur des vecteurs (le spectre est discret). À mon avis, il pourrait s'agir là de deux représentations distinctes du groupe des transformations unitaire... je ne saurais dire. Si c'est le cas, alors l'utilisation du mot représentation serait très appropriée, et la différence entre une base et une représentation viendrait de la structure de groupe sous-jacente. Le concept mathématique de base n'a rien à voir avec les groupes, mais une fois que le structure de groupe est ajouté, la base devient une représentation....

Il faut prendre ce que je dis à la légère, je n'y connais pas grand chose, c'est seulement un ramassis d'intuitions...

Au plaisir de recevoir vos précisions.

Cordialement,

Simon

[mamono666]

À mon avis, il pourrait s'agir là de deux représentations distinctes du groupe des transformations unitaire... je ne saurais dire. Si c'est le cas, alors l'utilisation du mot représentation serait très appropriée, et la différence entre une base et une représentation viendrait de la structure de groupe sous-jacente.

Si on prend une fonction d'onde, on peut la décomposer dans la base de l'espace des fonctions d'onde. On pourrait tres bien décomposer une fonction d'onde dans d'autre base.

Par définition de la transformé de fourier, on aurra tjrs (en physique )



donc on a décomposé la fonction d'onde dans une base. Les vecteurs de la base étant:



On va représenter la fonction d'onde dans la base. Pour cela on range alors ces éléments de décomposition (les sous forme de matrice).

Faire le choix de la base ci dessus correspond à la représentation {|p>}

Maintenant on peut tres bien passer dans une autre représentation. Pour cela, il faut choisir une nouvelle base...et la fonction d'onde sera cette fois représenté par ces nouveaux élément de la décomposition dans la base.

(par exemple la représentation {|r>})

Que ce soit une fonction d'onde ou un opérateur, on fait la meme chose pour le représenter (dans la représentation choisie).

[invite8ef93ceb]

Bonsoir,

Pour le point de vue, mon prof m'a précisé qu'il s'agit en fait d'une base dépendante du temps. Le changement de point de vue se fait par une transformation unitaire ordinaire, à la seule différence que celle-ci dépend du temps. Il a aussi confirmé que base et représentation sont synonyme.

[mamono666]

point de vue de schrödinger: Les observables independantes du temps et les bra ou ket de la fct d'onde dépendent du temps. Ce ket étant obtenu grace à l'equation de schrodinger, on parle de point de vue de schrodinger.

point de vue de heisenberg: observables dépendent du temps et pas le bra ou ket de la fct d'onde.

Effectivement dans le point de vue de schrodinger, tu as une base qui dépend du temps...mais c'est le seul lien avec les bases.

Pour représentation, oui, choisir une représentation revient à choisir une base. C'est bien pareil ^^