Différents types de vérités (ou de savoirs)

[Juzo]

Bonjour à tous,

J'ai rêvé cette nuit (inutile de me psychanalyser) que je demandais à un passionné de sciences s'il avait peur de mourir.
Celui-ci m'a répondu que ce qui l'embêtait surtout, c'est de ne pas vivre assez longtemps pour connaître "tout ce qui s'est passé". Il entendait par là tous les évènements qui ont eu lieu dans l'histoire de l'univers.
Je lui ai dit que cela ne m'intéressait pas vraiment, ce que j'aurais aimé connaître moi, c'est "comment les choses fonctionnent".

Je me suis réveillé avec cette interrogation : quelles sont les différents types de vérités existants ? J'entends par vérités des choses qui peuvent faire l'objet d'une affirmation vraie ou fausse, et qui sont accessibles au savoir.

En effet dans mon rêve semblaient se distinguer deux catégories de vérités :
- "ce qui s'est passé", c'est-à-dire des événements avec des repères spatio-temporels
- "comment les choses fonctionnent", c'est-à-dire un ensemble d'objets avec des lois qui régissent leurs interactions

J'imagine une troisième catégorie de vérités, à laquelle appartiendrait plutôt ma question : "comment les choses sont organisées", c'est-à-dire des objets et les groupes dans lesquels on peut les ranger.

Il existe probablement d'autres manières de catégoriser les vérités, par exemple les vérités objectives ou subjectives, mais cette manière-là (classer les vérités par les éléments qui les composent) est-elle pertinente, et quelles seraient le cas échéant toutes les catégories existantes ?

J'ai besoin de vos éclairages
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[karlp]

Bonjour Juzo

Vous décrivez ici les trois approches qui caractérisent diverses disciplines:
L'approche diachronique (ou "généalogique")
L'approche synchronique (ou "structurale")
L'approche mixte (dialectique structurale)
Cordialement

[Nicophil]

Bonjour,

En effet dans mon rêve semblaient se distinguer deux catégories de vérités :
- "ce qui s'est passé", c'est-à-dire des événements avec des repères spatio-temporels
- "comment les choses fonctionnent", c'est-à-dire un ensemble d'objets avec des lois qui régissent leurs interactions

C'est la différence entre propositions existentielles et propositions universelles.

[Juzo]

Vous décrivez ici les trois approches qui caractérisent diverses disciplines:
L'approche diachronique (ou "généalogique")
L'approche synchronique (ou "structurale")
L'approche mixte (dialectique structurale)

Sur internet j'ai retrouvé ces approches en Histoire, en Géographie et en Linguistique. Si je comprends bien l'approche diachronique étudie un phénomène dans la durée sur une période plus ou moins longue, tandis que l'approche synchronique s'intéresse à un phénomène à un instant donné;
ans mon idée je ne séparais pas les approches par leur temporalité, même si on peut en effet trouver un lien.

C'est la différence entre propositions existentielles et propositions universelles.

Vous parlez de propositions utilisant soit le quantificateur existentiel (il existe x), soit le quantificateur universel (pour tout x) ? Pour moi ce n'est pas vraiment cette distinction qui est faite. Ces deux types de propositions.

Quoique le calcul des propositions ne se préoccupe pas du contenu des propositions, mais seulement de leurs relations, il peut être intéressant de discuter ce que pourrait être ce contenu.

Une proposition donne une information sur un état de chose. Ainsi « 2 + 2 = 4 » ou « le livre est ouvert » sont deux propositions. En logique classique (logique bivalente), une proposition peut prendre uniquement les valeurs vrai ou faux.

Une phrase optative (qui exprime un souhait comme « Que Dieu nous protège ! »), une phrase impérative (« viens ! », « tais-toi ! ») ou une interrogation n'est pas une proposition. « Que Dieu nous protège ! » ne peut être ni vraie ni fausse : elle exprime uniquement un souhait du locuteur. En revanche, une phrase comme « Dans ce calcul, toutes les variables informatiques sont strictement positives » est une proposition dont le contenu a été modifié par le quantificateur toutes et qui est supposée s'avérer dans la durée. Ce type de proposition est étudié dans la logique modale, plus précisément dans la logique temporelle dans ce cas, à cause de l'affirmation de sa pérennité.

J'ai l'impression que ma question porte justement sur le contenu des propositions, plus exactement de toutes les propositions vraies que l'on peut connaître. Quels sont les différents types de propositions vraies pouvant exister ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nicophil]

A ce moment-là il y a ça : https://fr.wikipedia.org/wiki/Scienc...n_des_sciences

[invite6486d7bd]

Celui-ci m'a répondu que ce qui l'embêtait surtout, c'est de ne pas vivre assez longtemps pour connaître "tout ce qui s'est passé". Il entendait par là tous les évènements qui ont eu lieu dans l'histoire de l'univers.
Je lui ai dit que cela ne m'intéressait pas vraiment, ce que j'aurais aimé connaître moi, c'est "comment les choses fonctionnent".

Je pense que les deux affirmations se valent.
Puisqu'une proposition valide est vérifiable.
Nous proposons quelque-chose qui vient de notre imagination au réel.
Le réel nous répond et nous pouvons alors juger si la proposition valide est vraie.

Donc pour connaitre, il faut co naitre, c'est à dire naitre avec le monde (c'est d'ailleurs le sens de ce mot il me semble).
Cette connaissance étant personelle (locale), connaitre tous les évènements qui ont eu lieu dans l'histoire de l'univers nécessiterait ce que nous n'avons pas, la vie éternelle ainsi que la conscience complète de notre univers (c'est peu de le dire, mais ça explique des choses ).

Dans le deuxième cas de figure, connaitre "comment les choses fonctionnent" c'est supposer qu'il soit possible de réduire les connaissances à des lois. C'est ce qu'on appelle généraliser.
Et que ces lois soient vraies en tout lieu et en tout temps.
Or c'est là que le bas blesse, puisque pour pouvoir affirmer que l'on "connait vraiment", que la loi est toujours vérifiée, il faut le vérifier pour de vrai...
Etant limités, en sciences on se restreint à tenir pour vrai les propositions "Jusqu'à Preuve Du Contraire".

Ce qui revient à la méthode de la première connaissance proposée (si on veut être sur à 100%), qui nous est inaccessible.

Je me suis réveillé avec cette interrogation : quelles sont les différents types de vérités existants ? J'entends par vérités des choses qui peuvent faire l'objet d'une affirmation vraie ou fausse, et qui sont accessibles au savoir.

Par définition, je dirais qu'une vérité doit être "unique", c'est à dire qu'une vérité ne peut pas exister lorsqu'il y a des contradictions.
De plus, pour pouvoir énoncer une vérité, il doit s'agir d'une proposition vérifiée.
Ce qui veut dire que pour pouvoir affirmer qu'on tient là une vérité, il est nécessaire de la confronter à toutes les autres vérités.

Il existe probablement d'autres manières de catégoriser les vérités, par exemple les vérités objectives ou subjectives, mais cette manière-là (classer les vérités par les éléments qui les composent) est-elle pertinente, et quelles seraient le cas échéant toutes les catégories existantes ?

Il n'y a pas à mon sens de vérité subjective, il n'y a que des proposition valides ou invalides.
Si une question est mal posée, la réponse peut être vue comme une "vérité subjective", certes.
De plus, on peut difficilement se mettre dans la tête d'une autre personne, donc effectivement une vérité pour l'un peut paraitre en contradiction avec une vérité pour un autre, mais s'il s'agit de véritables vérités, c'est que l' énoncé de l'un ou de l'autre est invalide.

Ce qui nous amène à la question de l'énoncé de la vérité, difficile question.

[invite05c2e4df]

Il n'y a pas à mon sens de vérité subjective, il n'y a que des proposition valides ou invalides.

[Amanuensis]

Pour moi la notion de "vérité" est un leurre, une manière de comparer ce qui est à un idéal inatteignable. Quel est l'intérêt de classer entre ce qui n'est pas idéal et ce qui l'est, sachant que rien ne l'est?

Un savoir devrait se classer en fonction de ce qu'on en fait. La validité est alors une manière de parler de l'adéquation d'un savoir à ce qu'on en fait.

[invite6486d7bd]

Pour moi la notion de "vérité" est un leurre, une manière de comparer ce qui est à un idéal inatteignable. Quel est l'intérêt de classer entre ce qui n'est pas idéal et ce qui l'est, sachant que rien ne l'est?

Bonne remarque.

Par contre, le concept de vérité ne peut-il s'avérer utile lorsqu'il s'agit de désigner cette "chose de l'esprit" vers laquelle certains tendraient sans jamais l'atteindre ?
C'est un peu comme le fait d'avoir désigné l'infini qui est pourtant non atteignable dans les faits. (l'infini actuel n'étant jamais atteint)
Une différence par rapport aux mathématiques étant peut-être qu'au fur et à mesure de l'avancée vers la vérité, son apparence peut basculer de manière surprenante et que le cheminement n'obéit à aucune loi. (non linéaire)

J'ajouterais un petit bémol également dans l'affirmation que la vérité ne peut être atteinte.
C'est vrai dans le cas où le cheminement se fait par la connaissance commune, celle qui résulte de la mise en contradiction, mais ce n'est plus vrai à mon avis dans le cas où la vérité s'impose au penseur sans qu'il ne soit fait appel à la raison.
Ce que certains appellent l'illumination.

D'où peut-être également une bonne raison de penser qu'il peut être utile d'employer un mot : "Vérité", pour désigner ce fait.
Pour ceux qui admettent l'existence du fait bien entendu.

[Amanuensis]

D'où peut-être également une bonne raison de penser qu'il peut être utile d'employer un mot : "Vérité", pour désigner ce fait.

Marrant. J'aurais dit exactement le contraire, que c'est une bonne raison pour ne pas employer le mot vérité dans ce cas.

Mais évidemment, cela va à l'encontre de la base de toutes le religions, ce qui fait beaucoup d'opposants.

(Au passage, il me semble qu'au minimum on qualifie ; genre "vérité révélée".)

[invite6486d7bd]

Marrant. J'aurais dit exactement le contraire, que c'est une bonne raison pour ne pas employer le mot vérité dans ce cas.

D'accord, mais comment justifier alors que les mathématiciens emploient le terme "infini" alors que dans les faits il soit inatteignable ?
Devraient-ils taire l'infini ou ont-il raison de l'employer et pourquoi ?

Une raison justifiant l'emploi en mathématique que je vois serait que son emploi comme; intermédiaire s'annulant dans un raisonnement, alors même que d'un point de vue factuel l'infini n'aurait pas d'existence réelle, permet d'obtenir des résultats utiles.
Comme c'est le cas lorsqu'on emploi des nombres imaginaires dans un calcul physique en tant qu'intermédiaire de calcul et que le résultat final ne rend compte que de propriétés physiques réelles.

(Au passage, il me semble qu'au minimum on qualifie ; genre "vérité révélée".)

C'est peut-être effectivement une distinction à faire.
La vérité au sens logique et la vérité révélée au sens théologique.

[Médiat]

Bonjour,

D'accord, mais comment justifier alors que les mathématiciens emploient le terme "infini" alors que dans les faits il soit inatteignable ?

Parce que les mathématiciens se fichent complètement de "la réalité", "l'existence", "le réel", "la vérité", "atteignable", et même, y penser serait une faute professionnelle.

[invitecb7c417d]

Bonjour,
Parce que les mathématiciens se fichent complètement de "la réalité", "l'existence", "le réel", "la vérité", "atteignable", et même, y penser serait une faute professionnelle.

Et pourtant ?
Est-ce une affirmation non péremptoire , il me semble que même les démos mathématiques indiquent (d'une certaine façon) au minimum, des traits psychiques (chez le mathématicien concerné), non ? Ainsi il y a séparation entre diverses écoles de pensées (les interprétations sur les maths : avec les 2 grands courants qui suivent : formalisme et platonisme).

Le platonisme est "l'âme" des maths, car ce courant de pensée s'absout du substrat qui a donné naissance à cette abstraction (les humains, et leurs "cervelles" ), or si le formalisme doit jouer un rôle, dans la recherche des maths, il doit forcément (sic), induire "l'esprit de l'être humain" (induire ou plutôt décrire/caractériser), et donc doit prouver que les maths soient issues de la mise en forme de nos cerveaux. http://forums.futura-sciences.com/ac...use-lecon.html (par exemple)

Or, il est plus que nécessaire de trouver des maths qui appartiendraient à "d'autres entités spirituelles" pour comprendre et assoir le formalisme !
Et la contraposée serait (donc pour le platonisme), que les maths soient les mêmes partout. Ce qui me fait dire que l'on pourrait démontrer dans ce sujet : http://forums.futura-sciences.com/sc...imulation.html que nous appartenons à une simulation, puisque toutes simulations reposeraient sur la même base (les maths absolues, quoi !)

J'ai presque envie de proposer la recherche d'une "inégalité de Gödel" pour pouvoir appliquer les maths à "toute la Physique" sans fausse(s) note(s), si platonisme ; et ne pouvant être universelle, si formalisme (d'autant que l'on étend "facilement" à tout l'univers, les lois physiques ! Sans même savoir s'il y a différentes versions ?)

[invite6486d7bd]

Bonjour,
Parce que les mathématiciens se fichent complètement de "la réalité", "l'existence", "le réel", "la vérité", "atteignable", et même, y penser serait une faute professionnelle.

Faire appel à des concepts irréels est donc justifié par le fait qu'ils amènent à des résultats concrets, utiles à la maitrise du réel.

Pour moi la notion de "vérité" est un leurre, une manière de comparer ce qui est à un idéal inatteignable. Quel est l'intérêt de classer entre ce qui n'est pas idéal et ce qui l'est, sachant que rien ne l'est?

Un savoir devrait se classer en fonction de ce qu'on en fait. La validité est alors une manière de parler de l'adéquation d'un savoir à ce qu'on en fait.

Le concept de vérité s'avère inintéressant, du fait de son inutilité.
Le seul intérêt que l'on puisse y trouver serait de montrer qu'elle ne peut exister pour l'homme sur la base de la raison, pointant simplement la possibilité qu'un autre type de vérité, hypothétique, puisse éventuellement exister, et qu'elle soit d'une autre nature, théologique.

Ici, effectivement, associer savoir et vérité serait une vaine démarche, sans aucun intérêt.

Si je comprend bien, le concept de vérité doit-il être exclu du domaine scientifique ?

[Médiat]

Faire appel à des concepts irréels est donc justifié par le fait qu'ils amènent à des résultats concrets, utiles à la maitrise du réel.

Au risque de me répéter : les mathématiciens se fichent complètement de "la réalité", "l'existence", "le réel", "la vérité", "atteignable", "justifié", "concret", "maitrise du réel" et même, y penser serait une faute professionnelle.

[invite9dc7b526]

Il y a pourtant des mathématiques qui ont été développées dans l'idée de résoudre des problèmes très concrets. Ca me semble abusif de dire que les mathématiciens qui les ont développées se fichaient totalement de la "maîtrise du réel". Comme exemples on peut citer la méthode des moindres carrés que Gauss a imaginée pour améliorer la construction de cartes topographiques ou la formule de Stokes qui a été développée pour résoudre des questions d'hydraulique (je viens de lire le livre de Michèle Audin!).

[karlp]

Que des mathématiciens aient eu à l'esprit la résolution de problèmes concrets n'implique pas que les mathématiques doivent être subordonnées à cette finalité. C'est même en se libérant de ce type de considérations qu'elles peuvent s'engager dans des voies inédites.
Songez seulement qu'un tel asservissement aurait très probablement donné une assise définitive à la censure des théories sur les transfinis. La "philosophie" n'a rien à dire sur l'orientation des mathématiques.
"l'essence des mathématiques c'est la liberté" Cantor

[invite51d17075]

Il y a pourtant des mathématiques qui ont été développées dans l'idée de résoudre des problèmes très concrets. Ca me semble abusif de dire que les mathématiciens qui les ont développées se fichaient totalement de la "maîtrise du réel".

certes, mais tu fais référence entre autre, à des "actes" passés, tout comme plus haut , qcq a fait référence à Platon.
et je vois comme une problématique d'implication logique dans ce raisonnement.
ce n'est pas parce que les maths ( produit de notre réflexion humaine ) ont servit ou servent à "modéliser" ce qu'on essaye de comprendre notre environnement, que par "pseudo-déduction" elles seraient faites pour ça.
à moins de vouloir le postuler.

[Médiat]

minushabens, un mathématicien peut toujours rendre service à un copain si celui-ci ne s'en sort pas, mais, jamais une expérience "réelle" n'invalidera une théorie mathématique, si les méthodes mises au point par Gauss, n'avait pas marché pour le problème concret à résoudre, ces méthodes seraient restées des mathématiques correctes.

Il va de soi que, comme karlp, je suis d'accord avec Cantor, et j'ajoute ce que disait Hilbert :

Personne ne doit nous chasser du paradis créé par Cantor

[invite9dc7b526]

je ne crois pas que Gauss "rendait service à un copain". Je pense que lui, comme Newton et d'autres ont développé des mathématiques dans le but de résoudre des questions, soit de physique soit d'ingénierie, qui les intéressaient eux. Je pense même que cette pratique de la mathématique existe de nos jours. Et donc je pense que ta vision du travail des mathématiciens n'est pas universelle, elle correspond sans-doute à ta pratique et peut-être, mais ce n'est pas certain, à celle d'une majorité de mathématiciens, mais pas de tous.

[PlaneteF]

Bonjour,

"l'essence des mathématiques c'est la liberté" Cantor

C'est pas les deux frères Gasol qui ont dit ça ? (ah non c'est vrai eux c'est le basket )

Désolé, pas pu m'empêcher !

[Médiat]

je ne crois pas que Gauss "rendait service à un copain".

Je sais que l'ironie passe mal sur un forum, mais là quand même, il n'y avait pas beaucoup d'hésitations à avoir

Je pense que lui, comme Newton et d'autres ont développé des mathématiques dans le but de résoudre des questions, soit de physique soit d'ingénierie, qui les intéressaient eux. Je pense même que cette pratique de la mathématique existe de nos jours. Et donc je pense que ta vision du travail des mathématiciens n'est pas universelle, elle correspond sans-doute à ta pratique et peut-être, mais ce n'est pas certain, à celle d'une majorité de mathématiciens, mais pas de tous.

Bien sûr qu'un être humain peut être à la fois mathématicien et physicien et/ou n'importe quoi d'autres, bien sûr que l'une de ses personnalités peut déclencher le travail du mathématicien en lui, mais, si jamais, dans ce cas, il arrête son travail, parce que non conforme à "la réalité" (ou toute autre référence extra-mathématique), alors, c'est en physicien (ou toute autre référence extra-mathématique) qu'il réagit, pas en mathématicien. Il s'agit d'archétypes pas de personnes réelles.

Aucune personne (j'espère) n'est qu'une seule chose, quand j'écris "le mathématicien se fiche de la réalité", cela ne veut pas dire que A. Connes n'est pas un mathématicien, mais qu'il n'est pas que cela, et que certains de ses choix ne sont pas dictés part sa partie de mathématicien

[invite9dc7b526]

Mais je pense que ce n'est pas juste que Newton était mathématicien et aussi physicien. A mon humble avis ses créations mathématiques sont inspirées par sa pensée physicienne. Je crois que c'est vrai d'autre mathématiciens.

[Médiat]

Plus vous irez dans le passé et plus cela sera vrai

[Juzo]

Bonjour à tous,

Les mathématiques se distinguent des autres sciences si on considère qu'elles ne portent pas sur le monde, sur la réalité concrète, mais sur des idées.
La question est donc de savoir quels sont les objets sur lesquels portent les mathématiques, en regard des autres sciences.

Les autres sciences sont des connaissances qui nous renseignent sur des caractéristiques et des propriétés d'objets du monde réel (même s'ils sont constitués de théories : atome, cellules...). Portant sur le monde, ces connaissances sont changeantes, ce qui est vrai ici n'est pas forcément vrai ailleurs, ce qui était vrai hier ne sera pas nécessairement vrai demain... De plus ces connaissances peuvent être testées par l'expérience.

En comparaison les mathématiques portent sur des idées et leur mise en relation, "sans dépendre de rien de ce qui existe dans l'univers". Elles ne dépendent pas du contexte, elles sont déconnectées de la réalité comme le dit Médiat.

Extrait d'un texte de Hume :

Hume, Enquête sur l’entendement humain, IV, 1, § § 1 et 2

Tous les objets de la raison humaine ou de nos recherches peuvent naturellement se diviser en deux genres, à savoir les relations d’idées et les faits. Du premier genre sont les sciences de la géométrie, de l’algèbre et de l’arithmétique et, en bref, toute affirmation qui est intuitivement ou démonstrativement certaine. Le carré de l’hypothénuse est égal au carré des deux côtés, cette proposition exprime une relation entre ces figures. Trois fois cinq est égal à la moitié de trente, exprime une relation entre ces nombres. Les propositions de ce genre, on peut les découvrir par la seule opération de la pensée, sans dépendre de rien de ce qui existe dans l’univers. Même s’il n’y avait jamais eu de cerce ou de triangle dans la nature, les vérités démontrées par Euclide conserveraient pour toujours leur certitude et leur évidence.



Les faits, qui sont les seconds objets de la raison humaine, on ne les établit pas de la même manière ; et l’évidence de leur vérité, aussi grande qu’elle soit, n’est pas d’une nature semblable à la précédente. Le contraire d’un fait quelconque est toujours possible, car il n’implique pas contradiction et l’esprit le conçoit aussi facilement et aussi distinctement que s’il concordait pleinement avec la réalité. Le soleil ne se lèvera pas demain, cette proposition n’est pas moins intelligible et elle n’implique pas plus contradiction que l’affirmation : il se lèvera. Nous tenterions donc en vain d’en démontrer la fausseté. Si elle était démonstrativement fausse, elle impliquerait contradiction et l’esprit ne pourrait jamais la concevoir distinctement.

Le problème c'est que tout le monde n'est pas d'accord (il me semble) sur la nature des objets sur lesquels portent les maths, et sur la possibilité ou noàn de mener des expériences sur ces objets.

- Logicisme : certains ont considéré que les mathématiques ne sont qu'une forme de logique particulière. Les objets sur lesquels elles portent sont des relations entre des idées (nombre, ...). Dans ce cas elles sont vides de contenu, par rapport aux autres sciences. Le problème est qu'on ne peut pas s'affranchir d'axiomes qui ne sont pas purement logique, ce qui mais un coup à ceux qui veulent résumer les mathématiques uniquement à la logique.
- Formalisme : les maths ne sont qu'une manipulation de symboles, ou de "choses" imaginaires. Echec avec le théorème de Gödel.
- En passant par le "neo-Platonicisme". Extrait d'un site dont j'ai mis le lien ensuite.

On voit que les approches visant à réduire les objets mathématiques à autre chose (à la logique, à des constructions, à des jeux de symboles arbitraires) rencontrent des difficultés. Et si, finalement, les objets mathématiques existaient réellement ? Non pas de manière concrète dans notre univers, mais peut-être de manière abstraite ?

C'est ce qu'on appelle le platonisme. Il a connu un renouveau au cours du 20ème siècle suite aux difficultés des autres approches, et était adopté notamment par Gödel. Derrière le platonisme, il y a l'intuition que les mathématiciens ne font pas que construire des systèmes, mais qu'il découvrent des vérités qui pré-existent à leurs raisonnements.

On peut finalement faire une analogie assez forte avec les sciences naturelles. L'intuition mathématique pourrait se rapprocher de la perception qui sert de support aux sciences naturelles. Tout comme en science, on émet des conjectures et certaines hypothèses sont révisables (comme quand Frege découvre que son principe est contradictoire). Tout comme en science, on juge finalement les axiomes mathématiques à l'aulne de leur succès pour rendre compte de façon simple et économique d'un grand nombre de vérités (ou de choses qui semblent intuitivement vraies).

Cette vision a aussi ses détracteurs, etc.

Voici le site, je trouve que le résumé est pas mal :

http://philosophiedessciences.blogsp...stent-ils.html

Et un autre article que je n'ai pas eu le temps de lire encore, mais qui a l'air pas mal, sur la vérité de certains axiomes.

Cdt

[Médiat]

Bonjour,

En quoi les théorèmes de Gödel (je suppose que vous faites allusion aux théorèmes d'incomplétude) marqueraient l'échec du formalisme ?

De plus, même le platonicien le plus absolu, sait très bien qu'il ne manipule les objets mathématiques qu'au travers de leur formalisation, tout aussi soumise aux théorèmes de Gödel

[Juzo]

Extrait du texte que j'ai mis en copie... Je ne peux pas en dire beaucoup plus pour ma part.

Gödel mettra fin à ce beau projet [jeu méta-mathématique de Hilbert visant à montrer entre autres la consistance et la complétude de l'arithmétique]. Il montrera que certains énoncés mathématiques sont indécidables, c'est à dire qu'on ne peut prouver ni qu'ils sont vrais, ni qu'ils sont faux à partir des seuls axiomes. On peut même construire de nouveaux systèmes formels divergents à partie de chaque énoncé indécidable : un qui l'accepte et un qui le rejette. Gödel montrera également que l'énoncé correspondant à la consistance de l'arithmétique elle-même fait partie de ces énoncés indécidables. De manière général, aucun système d'axiome au moins aussi puissant que l'arithmétique ne peut démontrer lui-même sa propre consistance, c'est à dire qu'il ne peut prouver qu'il est lui-même cohérent et n'aboutit à aucune contradiction. Il faut, pour le montrer, partir d'un système plus puissant qui englobe le premier en faisant usage de concepts mathématiques avancés (mais ce système lui même ne peut montrer sa propre consistance). Un peu comme des poupées russes...

Ceci montre que les systèmes formels avancés dépassent en un sens l'arithmétique. Mais le programme de Hilbert, s'il échoue en partie, a également ouvert la voie à des travaux très important sur les fondations des mathématiques et la notion de preuve ou de système formel.

En dépit du théorème d'incomplétude de Gödel, l'approche formaliste reste a priori viable : peut-être que les mathématiques ne sont que manipulation de symboles. Il faudrait alors accepter qu'il n'existe pas un unique système cadre (l'arithmétique), mais que tous les systèmes formels se valent, et que la vérité d'un théorème ne vaut qu'à l'intérieur d'un système donné qu'on accepte par simple convention. Les théorèmes de l'arithmétique ne seraient vrai qu'une fois qu'on accepte les axiomes de l'arithmétique, tout comme un personnage de fiction n'existe qu'à l'intérieur d'une histoire donnée. Mais les axiomes seraient arbitraires, ou résulterait de considérations pragmatiques.

On peut douter cependant qu'une telle vision des choses face vraiment justice à la pratique des mathématiciens. On peut douter qu'ils perçoivent leurs énoncés comme dénués de sens, ou leur activité comme un simple jeu formel. Et leurs "personnages de fiction" existent un peu dans toutes les histoires...

Ensuite il est très fréquent que les mathématiciens discutent de la pertinence des axiomes (par exemple l'hypothèse du continu) comme s'il s'agissait de déterminer quels sont les bons axiomes à adopter. Les axiomes de la théorie des ensembles ne semblent pas être arbitraires : on peut penser que ce sont de bons axiomes qu'il est raisonnable d'accepter, et si par exemple la consistance de l'arithmétique de Peano est indécidable, il semble encore une fois raisonnable de l'accepter comme axiome et de travailler dans des systèmes qui l'acceptent plutôt que l'inverse. Il ne semble pas qu'il s'agisse d'un choix arbitraire.

Un autre problème se pose, qui est que si les mathématiques ne sont qu'un jeu de manipulation de symboles, si les nombres ne sont que des marques sur du papier, comment alors expliquer la façon dont ils s'appliquent au monde à travers les sciences ? Est-ce que cette application, couronnée de succès, ne suppose pas une certaine réalité des concepts mathématiques ?

Cet extrait ne vous donne pas vraiment tort... L'autre extrait que j'ai mis en citation dans mon message précédent nous dit que le platonisme était adopté notamment parGödel...

Pour ma propre pratique, je remarque qu'il est possible de réaliser des expériences pour vérifier des assertions mathématiques. Par exemple on peut facilement réaliser une expérience pour vérifier que l'affirmation suivante est fausse : "deux demi-droites [CD) et [DC) sont confondues"

Sur le thème de la vérité en mathématiques, avez-vous lu le 2ème document pdf que j'ai mis en lien ?
Je vais m'y plonger car il m'a l'air intéressant. Je remets le lien :
http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/Dgy.pdf

[Médiat]

Bonsoir

Entre, "échec du formalisme" et "échec du programme de Hilbert" il y a un monde !

Quelle expérience avez-vous faite pour vérifier le "théorème de Banach-Tarski"

Le texte que vous avez mis en lien sur "les vérités essentielles" est un commentaire sur les travaux de Woodin dont j'ai déjà parlé sur ce site, 2 choses à noter, :
1) Woodin lui-même a changé d'avis sur sa conclusion
2) Krivine (le plus grand logicien Français) a écrit sur ce sujet :

Chercher à savoir si CH est vraie ou fausse relève de la discussion sur le sexe des anges.

(et je suis en parfait accord avec mon ancien professeur )

Donc, en conclusion, ce n'est pas parce que l'on baptise un concept "vérité essentielle" que cela a le moindre rapport avec la vérité

[Médiat]

J'ai retrouvé le fil : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3324663

[Juzo]

Entre, "échec du formalisme" et "échec du programme de Hilbert" il y a un monde !

Je pensais au fait qu'aucun système ne peut démontrer sa consistance. Mais cela ne signe pas un échec du formalisme selon l'auteur du texte.

Quelle expérience avez-vous faite pour vérifier le "théorème de Banach-Tarski"

Aucune étant donné ce théorème, mais y a-t-il un théorème faisant l'objet d'une démonstration constructive qui ne peut pas être testé par une expérience ?
Et l'axiome du choix n'est-il pas sujet à discussion ? (au moins du point de vue philosophique)
En physique moderne on produit aussi des théories qui ne sont pas testables par l'expérience (théorie des cordes etc.) Bien sûr on peut dire que ce ne sont pas des théories physiques...

Personne ne doit nous chasser du paradis créé par Cantor

Attention, le paradis dans votre citation d'Hilbert me fait penser au monde intelligible de Platon vers quoi tend l'âme, ces "hauteurs où l'âme des dieux a établi sa demeure", où les âmes immortelles "contemplent les réalités qui se trouvent hors du ciel" ! (je blague)
"L'être qui est sans couleur, sans figure, intangible, qui est réellement, l'être qui ne peut être contemplé que par l'intellect -le pilote de l'âme-, l'être qui est l'objet de la connaissance vraie, c'est lui qui occupe ce lieu."
Platon, Phèdre