[Maths] [TS] Étude d'une fonction

**kNz** · 22/01/2007, 19h36

On considère la fonction f définie sur $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ et on note $\text{[math]}$ sa courbe représentative dans un repère othonormal (unité : 1cm).

1) Etude d'une fonction auxiliaire

On pose $\text{[math]}$ .

a) Etudier le sens de variation de g, et montrer que l'équation $\text{[math]}$ admet sur $\text{[math]}$ une unique solution notée $\text{[math]}$ dont on donnera un encadrement d'amplitude 0,1.

b) Préciser le signe de $\text{[math]}$ selon les valeurs de x.

2)

a) Calculer $\text{[math]}$ et étudier le sens de variation de f.

b) Etudier les limites de f en $\text{[math]}$ et en $\text{[math]}$ , puis dresser le tableau de variations de f.

3)

a) Montrer qu'il existe 4 réels $\text{[math]}$ tels que :

$\text{[math]}$

b) En déduire que C admet une asymptote oblique $\text{[math]}$ , et étudier la position de $\text{[math]}$ par rapport à $\text{[math]}$ .
Vérifier en particulier que $\text{[math]}$ rencontre $\text{[math]}$ en un unique point A.

4) Déterminer les abscisses des points B et B' de C admettant une tangente parallèle à $\text{[math]}$ .

5)

a) Vérifier que $\text{[math]}$ ; en déduire une valeur approché de $\text{[math]}$ .

b) On s'en passera c'est du tracé.

Bonne chance.

invitefc60305c · 22/01/2007, 20h53

$\text{[math]}$

1) a) $\text{[math]}$ dérivable sur R car somme de fonctions dérivables sur R. On dérive $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ qui n'admet aucune solution dans R. De plus $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ croissante sur R.
On fait les limites: lim en $\text{[math]}$ de g = limite du monôme de plus haut de degré = lim en $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ .
En $\text{[math]}$ on fait de même et on a :
lim en $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ .
Ainsi, $\text{[math]}$ est strictement croissante sur $\text{[math]}$ et change de signe sur cet intervalle (d'après les limites). D'après le théorème de la valeur intermédiaire (ou de la bijection, PS: y a une différence à part le nom ?), $\text{[math]}$ admet une unique solution $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
A la calculatrice on obtient : $\text{[math]}$ à 0.1 près.

b) sur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
sur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

2) a) num de f'(x) = $\text{[math]}$
Le dénominateur de f'(x) est toujours positif car au carré.
$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
sur $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ décroissante sur cet intervalle.
sur $\text{[math]}$ et sur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ croissante sur ces intervalles.

On fait les limites: limite de f en + $\text{[math]}$ = limite du rapport des monômes de plus haut degré en $\text{[math]}$ = limite de x en $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
Pareil en $\text{[math]}$ , donc limite de f en $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

3)a) $\text{[math]}$
En mettant au même dénominateur :
$\text{[math]}$
En identifiant, $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Finalement, $\text{[math]}$

b) On en déduit que la droite d'équation $\text{[math]}$ est asymptote oblique. Il s'agit de la première bissectrice.

On étudie la fonction $\text{[math]}$ sur R.
$\text{[math]}$
d(x) = 0 <=> intersection des 2 graphes.
Il suffit de résoudre d(x), et on trouve comme unique solution $\text{[math]}$ . Ainsi les 2 graphes se coupent au point A d'abscisse -4.

4) La tangente parallèle à $\text{[math]}$ a même coefficient directeur que $\text{[math]}$ .
C'est-à-dire, a la même dérivée. Or le coef directeur de $\text{[math]}$ est une constante donc sa dérivée est nulle. On a alors à résoudre :
$\text{[math]}$ <=> $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

**kNz** · 23/01/2007, 17h42

1) a)

Pense au bac à rédiger fonction par fonction, je le redis mais, si tu tombes sur quelqu'un d'un peu chian ça peut te nuire.

g'(x) = 3x²+3 qui n'admet aucune solution dans R

Pour moi les solutions de cette équation, c'est R

Je pense que tu as plutôt voulu dire g'(x) = 0, mais sinon ça veut rien dire :]

Pour la bijection, il faudrait peut être préciser que la fonction est continue non ?

Pour la calculatrice j'te fais confiance, j'en ai pas sous la main.

b) ok

2) a) Serais-tu flemmard au point d'écrire f'(x) en entier ?

Pour le signe de la dérivée c'est pas du tout ça, Try again

Tu aurais d'ailleurs pu te rendre compte par toi même que ça marchait pas : tu trouves f décroissante sur ]-oo;alpha[ avec f(alpha) = 0 et ta limite en -oo vaut -oo ! Y a un truc qui cloche

3) a) ok

b) Un peu rapide comme justification ! (pour y=x)

4) A côté de la plaque

La tangente en x₀ est parallèle à Delta si le coefficient directeur de la tangente est égal au coefficient directeur de Delta. Or le coefficient de Delta = ??. De plus, la pente de la tangente est égal au nombre dérivé en ce point = f'(x₀). Tu as donc à résoudre l'équation : ???.

A toi

invitefc60305c · 23/01/2007, 20h12

Salut.
Oui chui très bête

Bon on a :
sur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ donc f croissante.
sur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ donc f décroissante.
sur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ donc f croissante.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**kNz** · 23/01/2007, 20h12

C'est mieux

La suite ?

invitefc60305c · 23/01/2007, 20h22

4) il faut résoudre $\text{[math]}$
et on trouve $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

**kNz** · 23/01/2007, 20h26

C'est ok

Mais encore une fois, au bac tu dois justifier plus que cela ! J'compte sur toi

invitefc60305c · 24/01/2007, 20h30

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
Or $\text{[math]}$ d'après 2)a)
Donc $\text{[math]}$
<=>
$\text{[math]}$

**kNz** · 24/01/2007, 20h50

Encore une erreur d'inattention ! Le dénominateur c'est 2(a²+1)

Bon à part si c'est une erreur de recopie de LaTeX, dans le doute, j'te pardonne, sinon c'est bon

Un autre exo ?

invitefc60305c · 24/01/2007, 20h51

Avec plaisir très cher.

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