Etude d'une fonction ln [TS]

[invite11729512]

Bonsoir, j'ai une fonction à étudier qui est la suivante :
g(x) = x - n + (n/2) ln x définie sur ]0;+inf[.
On me demande d'étudier les variations puis de déterminer les limites en 0 et +infini. Jusque là ça va. Ensuite il faut prouver l'existence d'un réel alpha unique tel que g(alpha)=0 (c'est fait) et montrer que : 1 < alpha < e² et là je bloque. J'ai essayé de calculer g(1) et g(e²) pour montrer que l'un est négatif, l'autre positif mais je n'y arrive pas. Pouvez-vous me donner un coup de main s'il-vous-plaît ?
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[invite52c52005]

Bonsoir, le n je suppose que c'est un entier naturel.
Si c'est bien cela, je ne vois pas ce qui te bloque pour exprimer g(1) et g(e²). Comment les calcules-tu ?

[invite11729512]

Oui le n est un entier naturel non nul. En fait je ne sais pas comment on calcule avec e². Je suppose qu'il faut utiliser le ln mais je ne sais pas comment m'y prendre (c'est mon premier exercice du chapitre). Et sinon j'ai trouvé g(1)=1-n mais ça ne m'aide pas beaucoup parce que le signe dépend de n.

[invite52c52005]

Et bien, justement, si n est un entier naturel non nul, comment cela se traduit-il qui pourrait permettre d'en d&#233;duire le signe de g(1).

Quant &#224; e&#178;, sais-tu ce que vaut ln(e) ? Et ln(aⁿ) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite11729512]

Ah oui comme n est non nul g(1) est positif si n est différent de 1, enfin c'est positif. Et ln (a^n)=n.ln a et ln e = 1 je crois.

[invite52c52005]

Pour le n, c'est à peu près ça. Il faut dire : n entier naturel non nul donc n 1 et tu peux conclure sur g(1).

Pour le e², tu ne peux pas combiner les deux formules que tu m'as donné pour trouver g(e²) et donc son signe?

[invite11729512]

Humm ln e²= 2 ln(e)= 2 donc :
g(e²) = e² - n + (n/2).ln(e²)
= e² - n + n = e² ? Et là e²>0 mais il faut qu'il soit négatif. C'est d'une telle complexité les maths ! (enfin pour moi en tout cas)

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Et bien, justement, si n est un entier naturel non nul, comment cela se traduit-il qui pourrait permettre d'en déduire le signe de g(1).

e² est positif en effet.
Relis ça attentivement sachant que g(1) = 1 - n (comme tu l'as si bien dit !)

Et bien, justement, si n est un entier naturel non nul, comment cela se traduit-il qui pourrait permettre d'en déduire le signe de g(1).

Duke.

[invite52c52005]

Tu es sûr que c'est ça qu'on veut montrer? Et au fait, tu as trouvé quoi comme signe de g(1) ?

[invite11729512]

Ah oui g(1)>0 et g(e²)<0 et donc 1 < alpha < e². Merci beaucoup nissart7831 et Duke. Bonne soirée.

[invite52c52005]

Euh, tu as du faire des erreurs de recopie car c'est plutôt le contraire : g(1) < 0 et g(e²) > 0 Ce qui permet d'en déduire l'encadrement de alpha voulu car g est strictement croissante.

[invite11729512]

Oui effectivement c'est le contraire...merci encore