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Etude d'une fonction ln [TS]



  1. #1
    miukychan

    Etude d'une fonction ln [TS]


    ------

    Bonsoir, j'ai une fonction à étudier qui est la suivante :
    g(x) = x - n + (n/2) ln x définie sur ]0;+inf[.
    On me demande d'étudier les variations puis de déterminer les limites en 0 et +infini. Jusque là ça va. Ensuite il faut prouver l'existence d'un réel alpha unique tel que g(alpha)=0 (c'est fait) et montrer que : 1 < alpha < e² et là je bloque. J'ai essayé de calculer g(1) et g(e²) pour montrer que l'un est négatif, l'autre positif mais je n'y arrive pas. Pouvez-vous me donner un coup de main s'il-vous-plaît ?

    -----

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  3. #2
    nissart7831

    Re : Etude d'une fonction ln [TS]

    Bonsoir, le n je suppose que c'est un entier naturel.
    Si c'est bien cela, je ne vois pas ce qui te bloque pour exprimer g(1) et g(e²). Comment les calcules-tu ?

  4. #3
    miukychan

    Re : Etude d'une fonction ln [TS]

    Oui le n est un entier naturel non nul. En fait je ne sais pas comment on calcule avec e². Je suppose qu'il faut utiliser le ln mais je ne sais pas comment m'y prendre (c'est mon premier exercice du chapitre). Et sinon j'ai trouvé g(1)=1-n mais ça ne m'aide pas beaucoup parce que le signe dépend de n.

  5. #4
    nissart7831

    Re : Etude d'une fonction ln [TS]

    Et bien, justement, si n est un entier naturel non nul, comment cela se traduit-il qui pourrait permettre d'en d&#233;duire le signe de g(1).

    Quant &#224; e&#178;, sais-tu ce que vaut ln(e) ? Et ln(an) ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    miukychan

    Re : Etude d'une fonction ln [TS]

    Ah oui comme n est non nul g(1) est positif si n est différent de 1, enfin c'est positif. Et ln (a^n)=n.ln a et ln e = 1 je crois.

  8. #6
    nissart7831

    Re : Etude d'une fonction ln [TS]

    Pour le n, c'est à peu près ça. Il faut dire : n entier naturel non nul donc n 1 et tu peux conclure sur g(1).

    Pour le e², tu ne peux pas combiner les deux formules que tu m'as donné pour trouver g(e²) et donc son signe?

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  10. #7
    miukychan

    Re : Etude d'une fonction ln [TS]

    Humm ln e²= 2 ln(e)= 2 donc :
    g(e²) = e² - n + (n/2).ln(e²)
    = e² - n + n = e² ? Et là e²>0 mais il faut qu'il soit négatif. C'est d'une telle complexité les maths ! (enfin pour moi en tout cas)

  11. #8
    Duke Alchemist

    Re : Etude d'une fonction ln [TS]

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par nissart7831
    Et bien, justement, si n est un entier naturel non nul, comment cela se traduit-il qui pourrait permettre d'en déduire le signe de g(1).
    e² est positif en effet.
    Relis ça attentivement sachant que g(1) = 1 - n (comme tu l'as si bien dit !)
    Citation Envoyé par nissart7831
    Et bien, justement, si n est un entier naturel non nul, comment cela se traduit-il qui pourrait permettre d'en déduire le signe de g(1).


    Duke.

  12. #9
    nissart7831

    Re : Etude d'une fonction ln [TS]

    Tu es sûr que c'est ça qu'on veut montrer? Et au fait, tu as trouvé quoi comme signe de g(1) ?

  13. #10
    miukychan

    Re : Etude d'une fonction ln [TS]

    Ah oui g(1)>0 et g(e²)<0 et donc 1 < alpha < e². Merci beaucoup nissart7831 et Duke. Bonne soirée.

  14. #11
    nissart7831

    Re : Etude d'une fonction ln [TS]

    Euh, tu as du faire des erreurs de recopie car c'est plutôt le contraire : g(1) < 0 et g(e²) > 0 Ce qui permet d'en déduire l'encadrement de alpha voulu car g est strictement croissante.

  15. #12
    miukychan

    Re : Etude d'une fonction ln [TS]

    Oui effectivement c'est le contraire...merci encore

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