[Maths] [TS] Exponentielles/Logarithmes

[invitea7fcfc37]

Le but du problème est l'étude de la fonction définie sur l'intervalle par .

A) Etude de fonctions auxiliaires

1) On définit la fonction g sur l'intervalle par :

a) On admet le résultat suivant :

En déduire la limite de lorsque x tend vers 1.

b) Calculer pour appartenant à l'intervalle ].

c) Résoudre l'inéquation :

d'inconnue appartenant à l'intervalle .

d) Etudier le sens de variation de sur l'intervalle .

e) Montrer que l'équation a une solution unique, notée , dans l'intervalle , et étudier le signe de sur chacun des intervalles et .

2) Soit la fonction définie sur l'intervalle par :

.

a) Déterminer et prouver que .

b) Calculer et montrer que est du signe de sur l'intervalle .

c) Montrer que est croissante sur l'intervalle et décroissante sur l'intervalle .
-----

[invitefc60305c]

1)a)
lim 2x = 2
lim (x-1)ln(x-1) = 0
donc lim g quand x -> 1 = 2

b)


c)


le sens de l'inégalité est conservé car l'exp est une fonction croissante.


d)
pour
sur , donc g croissante
sur , donc g décroissante

e)
g est une fonction continue sur et strictement croissante (monotone).
De plus et . D'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe le réel tel que

sur ,
sur ,

2)a)

[invitefc60305c]

Pour la 2e limite, tu demandes une demo de cours ?


Or signe de = signe de num car denom de
De plus num de )

[invitea7fcfc37]

1)a)
lim 2x = 2
lim (x-1)ln(x-1) = 0
donc lim g quand x -> 1 = 2

C'est bon, mais si tu prépares le BAC, encore une fois, rédige plus, ex :
(x-1)ln(x-1) est de la forme XlnX. Quand x tend vers 1, on a bien X tend vers 0 et lim = 0

e)
g est une fonction continue sur et strictement croissante (monotone).

Erreur d'innatention

De plus et .

En donnant les valeurs des ordonnées c'est encore mieux

Pour la 2ème limite de la question a, je demande pas une question de cours, c'est un énoncé de bac, réponds ce que tu répondrais seul le jour de l'exam

Bon dans l'ensemble c'est bien, mais la rédaction pourrait être mieux, même si on sait que tu as compris, mais le correcteur du bac sera pas dans cet état d'esprit, donc si tu veux bien le faire le jour J, commence aujourd'hui

[A voir en vidéo sur Futura]