[Maths] [1èreS] Entraînement Olympiades (nc)

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour à tous,

allez je vous en soumets un nouveau :

f(x+1) + f(x-1) = .f(x)

Prouvez que f est périodique et déterminez sa période.



Enjoy again



Romain

EDIT : vous pouvez bien sûr le déplacer dans la rubrique "exercices pour les exams"
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[invitec053041c]

Bonjour!

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Sauf erreur de ma part, je trouve que f est périodique de période 8.
J'ai un peu grugé l'exo , car je l'ai simplement montré sur N, avec:

Avec quoi on trouve facilement que
D'où la périodicité de 8 sur N.
Pour généraliser à R, un petit décalage d'origine nous ramènerait à N, et on aurait la même histoire.

[inviteaeeb6d8b]

Il me semble que ce que tu proposes (changement d'origine) est une grosse arnaque
Prouver la périodicité sur IN ne prouve en aucun cas la périodicité sur IR.


Romain

[invitec053041c]

Non ça ne me semble pas être une arnaque, puisque je n'ai pas donné "d'origine" à ma suite pour montrer celà.Je n'ai pas dit que je partais explicitement de tel nombre.
Ainsi, j'ai juste montré que s'il y avait un écart de 8 entre 2 nombres, leur image était identique.
Il est clair que si la période avait été de Pi, ou de e, je n'aurais rien vu.Mais l'énoncé laissait pressentir que la période était entière, donc une étude de suite semble appropriée.
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Pour s'en convaincre, même si ma première méthode me plaît bien , on mettra ça sur le compte du bidouillage

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CQFD

[inviteaeeb6d8b]

Je n'ai pas dit que tu avais la mauvaise réponse

Ta première méthode est une arnaque : IN et IR ne sont pas en bijection que je sache ce changement d'origine ne peut pas marcher (il y a beaucoup plus d'éléments dans IR que dans IN).

Ta deuxième méthode est correcte par contre

Romain

[inviteaeeb6d8b]

après (courte) réflexion, j'ai compris ce que tu voulais faire D'accord, finallement ton raisonnement est OK (même s'il est tordu).

Toutes mes excuses (je soutiens que c'est quand même tordu )


Romain

[invité576543]

Juste une petite remarque, la démo n'est pas complète. Elle ne détermine pas la période, mais une période. Manque juste, mais ça ne doit pas être difficile, d'exhiber une fonction qui respecte l'équation et dont la période minimale est 8.

Cordialement,

[invité576543]

Bonjour

Sinon la démo du message #2 n'est en rien une arnaque. Elle est juste mal présentée! Complétons:

Soit x un réel quelconque, et , n appartenant à Z.

On a alors, pour tout n:



Avec quoi on trouve facilement que

D'où la périodicité de 8 pour U_n, indépendamment du choix de x, et donc en particulier U₈ = f(x+8) = U₀ = f(x).

Cette démo est bien plus propre et plus générale que celle du message #7...

Cordialement,

[invitefc60305c]

Une question, comment faites vous pour passer de

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à

Merci


PS: j'adore ces ptits exo Romain, si t'en as d'autres, n'hésite pas

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour

Sinon la démo du message #2 n'est en rien une arnaque. Elle est juste mal présentée!

Oui, je suis revenu sur ma première remarque
Je croyais sans avoir lu qu'il montrait la périodicité sur les entiers...


Romain

Si j'ai d'autres exercices, je les proposerai

[invité576543]

Une question(...)

Esquisse du principe:

Dans la plupart des cas, les suites récurrentes linéaires ont pour solutions les combinaisons linéaires des suites géométriques qui sont solutions.

Ici la récurrence est



une suite géométrique est solution si sa raison r vérifie l'équation polynomiale



Il y a deux racines distinctes dans C, et , et les combinaisons linéaires de deux suites géométriques de ces raisons sont de la forme

, avec a et b complexes

Et la partie réelle de telles suites est de la forme



Cordialement,

[invitec053041c]

Oui mmy, mais il était clair pour moi que le nombre que je prenais pour départ était quelconque.
J'aurais en effet dû l'exhiber plus clairement en posant f(x+n)=Un
Cordialement.

[invite7af75ce8]

Dans C pour des 1S ? T'en as d'autres des comme ça ?

[inviteaeeb6d8b]

C'est fatiguant ce genre de remarques

D'abord, cette méthode n'était pas celle attendue,

et les exercices des Olympiades sont des exercices d'un très bon niveau pas pour ...


Tu as aussi celui des Olympiades anglaises qui t'attend (puisque tu en veux d'autres)


Romain

[invitec053041c]

Oui romain a raison, la méthode qui part de f(x+8) arrivant à f(x) est celle requise.
Ma méthode ulisant une récurrence double était une astuce pour sentir la feinte.
C'est comme, j'avais en khôlle à montrer que si la matrice (In-AB) est inversible alors (In+AB) l'était aussi (je ne suis plus très sûr),
il fallait faire un développement limité de 1/(1+x), celui de 1/(1-x), remarquer quelque chose qui collait bien, et multilplier ce qu'on avait trouvé par (In+AB) pour trouver In.
La méthode des développements limités , et d'écrire 1/(1+AB) est bel et bien une grosse magouille aberrante, mais c'est juste du brouillon, le tout c'est que ça marche au final

[invitefc60305c]

Oui romain a raison, la méthode qui part de f(x+8) arrivant à f(x) est celle requise.

Seulement si tu supposes que l'élève sait qu'il s'agit d'une période de 8.
Sinan il fait comment ? au pif ?

[invité576543]

Voilà un exemple d'une bidouille qui permet sans trop de moyens de trouver la période:



On voit ainsi que f(x+4) = -f(x), ce qui montre que 8 est une période (et que 4 ne l'est que pour f(x)=0)

Cordialement,

[invitec053041c]

le laisse supposer que la période est en avec n pas trop grand en théorie, ni trop petit , donc 4 ou 8 semblent s'imposer,après ça reste du feeling!

[inviteaeeb6d8b]

Ledescat, je n'ai pas très bien compris le rapport avec ton exemple sur les matrices , mais dans ton cas, la magouille n'était pas si abérrante que ça (I+A)^-1 = 1/(I+A) ... à la limite, on peut quand même y penser...


La plus grosse magouille que j'ai vue, c'est pour montrer que la somme des inverses des carrés vaut Pi²/6.
Il fallait introduire une fonction assez compliquée, la développer en série de Fourier, montrer que la série de Fourier est égale à la fonction, calculer sa valeur en 0, et on trouvait ce qu'on cherchait

Romain

[invité576543]

le laisse supposer que la période est en avec n pas trop grand en théorie, ni trop petit , donc 4 ou 8 semblent s'imposer,après ça reste du feeling!

Mouais... Ici le facteur 4 de la période est lié à un autre , qui est (i fois) la racine du discriminant du polynôme de second degré . Si on met 1 à la place de , le discri vaut -3, ce qui devrait (à vérifier) donner des périodes liés à l'angle de 60°, soit 3, 6, 12 ...

Alors méfiance avec ce genre de "feeling"...

Cordialement,

[invitec053041c]

Penser à faire un DL de 1/(A+Id) pour inverser une matrice, alors qu'on bouffe du linéaire depuis des semaines, c'est quand même gonflé
Et se rapproche fortement du cosinus et sinus de , d'où le 8...

[invitec053041c]

De toutes les manières, pour démontrer un truc de pleine face, c'est toujours assez difficile.
Montrer que la somme des 1/k! converge vers e devient une banalité grâce à l'inégalité de Taylor Lagrange, alors qu'en voulant trouver un encadrement pour l'attaquer de front, ça devient très hardu.
Une science de magouilles

[invité576543]

Et se rapproche fortement du cosinus et sinus de , d'où le 8...

Je me répète. Les cosinus et sinus de pi/4 viennent aussi de la racine du discri, . C'est une coïncidence que le carré du discri soit égal au carré du terme médian.

Ce n'est pas avec des coïncidences que l'on met en place des techniques applicables à des problèmes similaires mais différents.

L'intérêt de tels exercices est l'apprentissage de techniques les plus générales possibles, ce qui demande de savoir prendre quelque distance des données spécifiques de l'exercice....

Cordialement,

[invitec053041c]

Il ne faut pas avoir honte de faire des magouilles hein
Même si le principe te gêne, le tout c'est de trouver le résultat.

[invité576543]

Il ne faut pas avoir honte de faire des magouilles hein
Même si le principe te gêne, le tout c'est de trouver le résultat.

Tu ne captes pas mon point.

Ce qui m'intéresse (pour d'autres raisons que le forum) c'est les méthodes. Mais pas celles qui marchent par hasard sur un cas particulier.

Ce n'est pas l'aspect magouille qui me gêne. Certaines magouilles sont intéressantes, ça peut donner des heuristiques d'application générale. Mais celles qui ne se généralisent pas ne m'intéressent pas. Et je ne vois pas trop quelle est leur place dans un entraînement aux olympiades...

Cordialement,

[invitec053041c]

Enfin pour dire la vérité, quel est l'intéret de s'inscrire aux olympiades autrement que pour son égo?
Leurs exercices sont très bien (à faire chez soi), mais je préfèrerais qu'ils sortent un livre par an avec quelques petits défis, mais ne pas faire concourir des personnes qui croient chacune être le nouveau petit génie de sa génération.

[invité576543]

Enfin pour dire la vérité, quel est l'intéret de s'inscrire aux olympiades autrement que pour son égo?
Leurs exercices sont très bien (à faire chez soi), mais je préfèrerais qu'ils sortent un livre par an avec quelques petits défis, mais ne pas faire concourir des personnes qui croient chacune être le nouveau petit génie de sa génération.

Plutôt faire des matchs de foot pour faire jouer des personnes qui croient chacune être la nouvelle idole de sa génération? Ou la star-ac? D'un côté ça donne des chances d'avoir des médailles Fields, de l'autre des Zidane ou des Johnny Halliday. Chacun ses goûts!

Cordialement,

[invitec053041c]

Ah ben tu fais bien d'en parler, car je cautionne encore moins les gens qui veulent faire croire à un grand avenir dans le football et la chanson!
Et je ne pense pas que c'est en aiguisant son esprit de compétition qu'on acquiert des connaissances mathématiques.
Ce genre d'exercices doit se faire dans un cadre ludique, et non pas compétitif.

[invité576543]

Ce genre d'exercices doit se faire dans un cadre ludique, et non pas compétitif.

Les échecs, les dames, le go, c'est ludique ou compétitif?

La plupart des jeux autres que solitaires sont compétitifs, non? Il n'y a pas opposition entre les deux termes.

Il y a de bonne raisons dans la psychologie humaine pour que les jeux compétitifs soient plus motivants que les jeux solitaires. Et la motivation est un facteur clé de l'apprentissage.

Cordialement,