[Maths] [Prépa-Licence] Analyse - égalité d'intégrales

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

encore de l'analyse...

Soit

Montrer la relation :


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[invitec053041c]

Bonsoir.

Et bien, quelle propriété !
Est-il possible de traîter l'exo en fin de sup ? Parceque là comme ça ,je sèche un peu .

François.

[invitec053041c]

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Bon j'avais pensé au changement de variable affine:



Mais je n'obtiens en aucun cas f(3t²-2t^3) en raison du changement de variable. (en développant, ça ne se simplifie pas d'ailleurs)
Bref, je cherche un autre changement de variable...mais bon pour qu'il n'y ait qu'un 2 qui apparaisse, je ne voyais qu'un changement de variable affine.

[Romain-des-Bois]

D'abord, n'ouvre pas le pdf que j'ai donné, parce qu'il y a la correction complète... donc si tu veux chercher...

Ensuite, c'est un exo de spé, mais qui est faisable en sup (sauf qu'en sup on voit pas la théorie qui permet de le faire mais elle est naturelle).

Bon, je te donne plusieurs questions intermédiaires, tu devrais y arriver :

Premièrement :

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Vérifie que est bien définie. N'oublie pas que

Deuxièmement :

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Le changement de variable à effectuer est . Mais comment avoir x en fonction de u ?
L'idée c'est de poser simplement sans expliciter cette fonction (on sait qu'elle existe et ça ne sert à rien de la connaître plus explicitement).

Attention, en réalité il y a trois changements de variable à effectuer (vues les variations de : on découpe l'intégrale en trois parties.

Ce qu'il faut faire : calculer la différence des deux membres, faire les changements de variable sur chacun des intervalles puis tout recoller. Il faut montrer maintenant que ce que tu as obtenu, c'est nul

Pour cela il y a une petite astuce... je te la donnerai plus tard

Pas facile de t'en dire beaucoup plus sans tout te dire... Si j'ai pas été clair, pose des questions ou regarde le pdf sans aller trop loin

Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Merci pour ces précisions .

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Je suis incapable de dessiner un tableau de variation, mais en le faisant il est clair que le polynôme de degré 3 est borné entre 0 et 1 lorsque x avrie entre -1/2 et 3/2.
Pour la bijectivité des changements de variable, on sépare comme tu dis en 3:



Je réfléchis au reste, j'ai ma petite idée , mais ça fait déjà un peu peur là !

[Romain-des-Bois]

Re !

Bon tu as compris le principe du changement de variable mais je ne comprends pas ce que tu fais !

(Remarque peut-être qu'on le voit pas en sup en fait )

tu devrais avoir par exemple :



Tu vois pouquoi ?

Romain

[invitec053041c]

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Et pour le second membre, on devrait avoir:



Il faudrait virer tous les phi1 et phi2 au profit de phi2, en repérant des 3phi²-2phi^3 qui sont égaux quels que soit le phi.

[invitec053041c]

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Oui je vois pourquoi .
Mais moi je suis parti de:
u=3x²-2x^3, donc du=6x(1-x) dx
Et dx=du/(6x(1-x))

Et comme x=phi(u)

J'accorde que je me suis embourbé quand même !

[Romain-des-Bois]

Tu ne dois plus avoir de mais uniquement des

[Romain-des-Bois]

Oui je vois pourquoi .
Mais moi je suis parti de:
u=3x²-2x^3, donc du=6x(1-x) dx
Et dx=du/(6x(1-x))

Et comme x=phi(u)

J'accorde que je me suis embourbé quand même !

Justement, l'idée c'est de ne pas expliciter le changement de variable


Romain

(là tu devrais y arriver ! fais le membre de gauche moins le membre de droite)

[invitec053041c]

Ah ben en fait j'ai utilisé simplement le fait que (f-1(x))'*(f(x))'=1 .

[invitec053041c]

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j'arrive à:



Ca sent l'IPP à plein nez , je regarde ce que ça donne.

EDIT: c'est mort, f n'est pas dérivable .

[Romain-des-Bois]

Salut !

Ta relation est bonne... Pas d'IPP non, mais une petite ruse permet de conclure

Connais-tu la somme des racines d'une équation du type :


Si tu la connais, tu devrais y arriver


Romain

[invitec053041c]

Je suis bête ! J'y avais songé mais je pensais que le polynôme ne se scindait pas forcément dans IR, mais à la vue du tableau de variation ...

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On a phi1(u),phi2(u),phi3(u) qui sont les 3 racines de 3x²-2x^3=u, donc leur somme est une constante de u qui vaut -3, qui dérivé vaut 0.
D'où la bulle .

Merci beaucoup romain !

[invitec053041c]

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La somme est 3/2 en fait.