[Maths] [MP/L2] Etude qualitative d'une ED

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour !

Voici un (petit) problème proposé par homotopie à propos des équas diffs

Etude qualitative d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle y'=y²-x (E). Ici, le terme solution désignera toujours une solution maximale.

1) Montrer que pour tout point (x,y) de R² il existe une unique solution f_x,y de (E) telle que y=f_x,y(x).

2) Montrer que si pour une solution f de (E) la dérivée s'annule en x₀, et en notant D_f le domaine de définition de f, alors
a) f est croissante sur D'={x de D_f ; x<=x₀} et
b) f est décroissante sur D"={x de D_f ; x>=x₀}.
Indice :

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montrer que l'on "passe" toujours de la "zone croissante" à la "zone décroissante"

3) Déterminer le lieu des points de coordonnées (x,y)
a) la dérivée seconde de f_x,y s'annule en (x,y)
b) f_x,y est localement convexe en (x,y)
c) f_x,y est localement concave en x,y
Indice :

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dériver (E) puis exprimer x en fonction de y

4) Montrer que si pour une solution f de (E) la dérivée seconde s'annule en x₀ alors
a) f est concave sur D'={x de D_f ; x<=x₀} et
b) f est convexe sur D"={x de D_f ; x>=x₀}.

Indice :

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comparer les pentes de la tangente de la courbe y"=0 et de la fonction solution en un même point de coordonnées (x,y)

On appelle I la famille des solutions admettant une tangente horizontale.
5) Montrer que pour une fonction f de la famille I, il existe x₁ et x₂ tels que :
a) f est croissante et convexe sur {x de D ; x<=x₁} ;
b) f est décroissante et concave sur [x1;x2] ;
c) f est décroissante et convexe sur {x de D ; x>=x₂}.

Montrer que :
5)' .

On appelle S la famille des solutions f telles qu'il existe un couple (x,y) tel que f(x)=y, f"(x)=0 et f'(x)>0. Pour lesquestions 6), f désigne une fonction de cette famille.

6) Montrer que f est croissante sur D_f.

6)' Il existe x₀ tel que
a) f est concave sur D'={x de D_f ; x<=x₀} ;
b) f est convexe sur D"={x de D_f ; x>=x₀}.

6)" Montrer que f admet deux tangentes verticales.
Indice pour la "partie gauche"

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On pourra montrer d'abord que f atteint des valeurs négatives, puis comparer f avec une solution de l'équation différentielle y'=y².

.

Indice pour la "partie droite" :

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On montrera que y²/2>=x pour x et y assez grands puis on comparera f avec une solution d'une équation différentielle bien choisie.

6)"' Montrer que f admet une deuxiè


7) Montrer qu'une fonction de la famille I admet une tangente verticale. (On pourra utiliser 6)")


8) Justifier que les familles I et S sont disjointes.

8)' Montrer qu'une solution f de (E) pour laquelle il existe un couple (x,y) tel que y=f(x), f'(x)>0, et f"(x)>0 appartient à la famille S.

8)" Montrer qu'une solution f de (E) définie en un réel x>=0 tel que appartient à la famille I.


Existence et unicité d'une solution concave

9) Montrer qu'une solution qui n'est dans I ni dans S est une fonction concave sur tout son domaine de définition ; et montrer qu'il en existe au moins une. Indice pour le 2ème partie :

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Montrer que les réels y tels qu'il existe une fonction f de I (resp. de S) telle que f(0)=y forment un segment ouvert de R S^- (resp. R⁺) avec S^- et S⁺ disjoints. Puis étudier une solution de (E) passant par (0,y) avec y n'appartenant pas à S⁺ U S^-.

9)' Montrer qu'une telle solution est unique.

Indice :

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Montrer que la différence de deux telles solutions vérifient sur R⁺ une inéquation en contradiction avec l'hypothèse de la non-unicité.

9)" Montrer que cette unique solution admet une tangente verticale en une abscisse négative et .


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Merci à homotopie

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Romain
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