Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 11 sur 11

[Maths] [TS->L3] Formule d'inversion de Möbius



  1. #1
    doryphore

    [Maths] [TS->L3] Formule d'inversion de Möbius

    Ce problème a pour but d'obtenir la première formule d'inversion de Möbius dont vous pourrez trouver quelques applications dans cet exposé:
    http://www.eleves.ens.fr/home/anton/maths/expose.pdf et des renseignements sur Möbius,ici: http://serge.mehl.free.fr/chrono/Mobius.html

    La plupart des questions sont abordables par des étudiants de niveau Licence deuxième année.

    1.[TS] Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p-1, p divise .

    2. Soit un corps commutatif tel que (le corps des classes résiduelles modulo p) soit un sous-corps de .

    (a) [L2-L3] Montrer que pour tout on a .

    (b) [L1-2] Soient n,r deux entiers naturels non nuls et des éléments de . Montrer que:



    (c) [L1-2] Soient n un entier naturel non nul et R un polynôme à coefficients dans . Montrer que:



    3. On dit qu'un élément de est un carré s'il existe dans tel que

    (a) [L2-L3] Déterminer le nombre de carrés dans .

    (b) [L1-L2] Montrer que, pour est un carré dans si, et seulement si, .

    Suite demain

    -----

    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  2. Publicité
  3. #2
    doryphore

    Re : [Maths] [TS] -> [L3] Formule d'inversion de Möbius

    Petite précision d'importance avant de continuer... p est un nombre premier dans l'ensemble de l'énoncé

    4. On note l'ensemble de toutes les suites . Cet ensemble est muni de l'addition usuelle des suites et du produit * défini par:

    , l'addition étant étendue aux diviseurs positifs de n.

    [L1-2] Vérifier que l'ensemble muni des lois + et * est un anneau commutatif unitaire. On notera l'élément unité.

    5. [L1-2] Caractériser les éléments inversibles de .

    6. Si est la décomposition en facteurs premiers de l'entier (les sont premiers entre eux deux à deux distincts et les entiers naturels non nuls), on définit la fonction de Möbius par et pour si tous les sont égaux à 1 (i. e. n est sans facteurs carrés ), sinon.

    (a) [L1-2] En notant la suite constante égale à 1 (i.e. pour tout )., calculer

    (b) [L1-2] Montrer que si dans sont telles que:

    alors:
    ,
    c'est à dire que . Cette formule est la (première) formule d'inversion de Möbius.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  4. #3
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [TS] -> [L3] Formule d'inversion de Möbius

    Pour le premier, on a besoin d'un théorème d'arithmétique vu en Terminale S.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  5. #4
    kron

    Re : [Maths] [TS] -> [L3] Formule d'inversion de Möbius

    Lol ça me fait une belle jambe, j'ai pas fait d'arithmétique en term... Mais je m'y essaie quand meme.
    Life is music !

  6. #5
    AriesSith

    Re : [Maths] [TS] -> [L3] Formule d'inversion de Möbius

    Citation Envoyé par doryphore
    1.[TS] Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p-1, p divise .
    Il faudrait peut etre préciser que p est premier ... non ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [TS] -> [L3] Formule d'inversion de Möbius

    Certes, je l'ai indiqué en rouge dans mon message #2, mais je ne pouvais plus modifier alors le message précédent.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  9. Publicité
  10. #7
    AriesSith

    Re : [Maths] [TS] -> [L3] Formule d'inversion de Möbius

    C'est vrai, j'avoue ne pas avoir lu ton second post ...
    Je retire ce que j'ai dit ...

  11. #8
    doryphore

    Post Re : [Maths] [TS] -> [L3] Formule d'inversion de Möbius

    Je propose une solution pour cette partie.
    N'hésiter pas à formuler des critiques à l'égard de cette suggestion de correction qui ne prétend ni être la meilleure ni être exempte d'erreurs.

    1.

    Soit

    p divise

    or p et k! sont premiers entre eux puisque k<p et p premier. (p est premier avec tous les éléments de )

    donc d'après le théorème de Gauss.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  12. #9
    doryphore

    Re : [Maths] [TS] -> [L3] Formule d'inversion de Möbius

    2.a. Soit

    est un homomorphisme d'anneaux donc est un idéal de

    On sait que p.1=0 car est un sous-corps de

    On sait de plus que est premier, c'est donc le sous-corps premier de .

    Par conséquent
    et
    Dernière modification par doryphore ; 20/06/2006 à 16h56.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  13. #10
    doryphore

    Re : [Maths] [TS] -> [L3] Formule d'inversion de Möbius

    C'est qui est un idéal premier pas bien sûr...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  14. #11
    doryphore

    Re : [Maths] [TS] -> [L3] Formule d'inversion de Möbius

    2.b. Démontrons cette égalité par réccurence sur n.

    Initialisation.

    Pour n=1, avec S une somme de multiples de pour donc une somme de multiples de p d'après la question (1) donc nulle d'après 2(a).

    Pour n=1, on a bien

    Hérédité.

    Supposons que ce soit vrai pour un entier n quelconque non nul, alors:



    Conclusion, l'égalité est vraie pour n'importe quel entier naturel non nul.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

Discussions similaires

  1. ruban de Möbius (et si on le paramétrait ?)
    Par Romain-des-Bois dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 17/03/2007, 18h20
  2. [Maths] [BacS] Formule de Stirling [R]
    Par martini_bird dans le forum Exercices pour les concours et examens
    Réponses: 115
    Dernier message: 20/01/2006, 11h05
  3. [Maths] [Prépa] Formule d'Euler
    Par Gwyddon dans le forum Exercices pour les concours et examens
    Réponses: 2
    Dernier message: 09/05/2005, 10h56
  4. [Maths] [BacS+] Formule de Wallis [R]
    Par martini_bird dans le forum Exercices pour les concours et examens
    Réponses: 105
    Dernier message: 05/05/2005, 10h32