[Maths] [1èreS] Probas

[Seirios]

En voici quelques uns :

Exercice 1 :
Déterminer dans chacune des expéreinces aléatoires suivantes l'univers oméga majuscul (je n'arrive pas à le mettre en LaTex ), puis compter son nombre d'éléments.
a) On jette deux dés à six faces.
b) On choisit au hasard une clé dans un trousseau de 23 clés.
c) Votre professeur choisit un élève au hasard sur sa liste pour l'envoyer corriger un exercice de probabilité au tableau.

Exercice 2 :
L'expérience aléatoire consiste à tirer une carte d'un jeu de 32 cartes. Calculer les probabilités des événements suivants :
a) A : "Obtenir le 7 de coeur"
b) B : "Obtenir une figure noire"
c) C : "Obtenir une dame ou une carte noir"

Exercice 3 :
Le problème du chevalier de Méré : "Quel est l'événement le plus probable : obtenir au moins une fois 6 en lançant 4 fois un dé ou obtenir au moins une fois un double six en lançant 24 fois une paire de dés ?"
Note : le chevalier de Mété était un homme de lettres, féru de science il posa ce problème à Pascal. La suite on la connaît, un échange entre Pascal et Fermat s'ensuivit, c'est l'acte de naissance du calcul des probabilités.

Exercice 4 :
Au casino "Royal des Mathématiques" on peut jouer aux machines à sous. Parmi toutes celles qui existent, voici celle qui remporte le plus grand succès : le Jackpot des Grands Mathématiciens : quatre rouleaux tournent indépendamment les uns des autres et 8 portraits de grands probabilistes (parmi d'autres) peuvent sortir (pour chacun des rouleaux) : Bernoulli, Fermat, Gauss, Kolmogorov, Laplace, Pascal, Poincaré, Tchebychev.
Exemple d'une partie (après avoir mis une pièce d'un euro et actionné la manivelle)
Fermat-Laplace-Pascal-Laplace
On joue une partie à 1 euro.
1°) Calculer la probabilité des événements suivants :
A : "Obtenir quatre portraits identiques".
B : "Obtenir trois portraits (et trois seulement) identiques".
C : "Obtenir quatre portraits distincts".
2°) Les gains sont :
- On gagne 50 euros si on obtient quatre portraits identiques.
- On gagne 5 euros pour trois portraits (et trois seulement) identiques.
- On gagne 1 euros pour quatre portraits distincts.
- On gagne rien sinon.
Soit G la variable aléatoire associée au gain. Déterminer la loi de probabilité de G, puis calculer son espérance. Ce jeu est-il rentable pour le casino ?

Tu peux également regardé ici, ici, ici, ici et enfin ici
-----

[kNz]

Super, merci Phys2, j'ai fait les 3 premiers exos, mais je vais pas les poster là, je vais essayer de voir avec un modérateur, en tout cas merci

[kNz]

Alors :

Exo 1

a) Lorsqu'on jette deux dés à six face, on peut obtenir 11 issues qui sont les entiers supérieurs à 2 (somme minimale possible au lancer des deux dés) et inférieurs à 12 (somme maximale possible au lancer des deux dés) :



b) On tire une clé au hasard dans un trousseau de 23 clés, on a donc 23 issues :



c) Soit N le nombre d'élèves dans la classe ; un élève est désigné par le professeur sur ce nombre d'élèves, on a donc N issues et :



Si on numérote les élèves ...

Je poste déjà cet exercice, juste une remarque, si l'univers ne comprend que des entiers successifs comme c'est le cas dans ces trois séries, ne peut on pas noter l'univers sous forme d'intervalle en précisant que les valeurs de cet intervalle appartienne à ?

Merci pour la correction Surtout, pas d'hésitation pour faire des remarques concernant la rédaction

[martini_bird]

Salut,

pour la 1) tu décris la somme des points obtenus. Or (2;4) et (3;3) ne sont pas des évènements identiques...

Ok pour la 2) et la 3).

Cordialement.

PS : on peut noter (a<b).

[A voir en vidéo sur Futura]

[kNz]

Alors pour la 1)



> 21 issues

Comme les dés sont indifférenciables, je suppose que l'ordre dans le couple n'a aucune importance

[martini_bird]

Comme les dés sont indifférenciables, je suppose que l'ordre dans le couple n'a aucune importance

C'est ça.

[kNz]

Ensuite :

Exo 2

a) P(A) = 1/32
b) P(B) = 6/32
c) P(C) = P(DameCarteNoire) = P(Dame) + P(CarteNoire) - P(DameCarteNoire) = 4/32 + 8/32 - 1/32 = 11/32

Je sais pas si la rédaction est bonne, c'est assez intuitif

[martini_bird]

a) et b) je suis d'accord.

pour c) je suis d'accord jusqu'aux applications numériques : il n'y a pas que 8 cartes noires* à ma connaissance et plus d'une dame noire aussi ...

Cordialement.

* Try to remember... (Harry Belafonte)

[kNz]

a) et b) je suis d'accord.

pour c) je suis d'accord jusqu'aux applications numériques : il n'y a pas que 8 cartes noires* à ma connaissance et plus d'une dame noire aussi ...

Cordialement.

* Try to remember... (Harry Belafonte)

Niih quel idiot, je reprends :

P(C) = P(DameCarteNoire) = P(Dame) + P(CarteNoire) - P(DameCarteNoire) = 4/32 + 16/32 - 2/32 = 18/32

[martini_bird]

Much better.

[kNz]

On continue :

Exo 3

Soit A l'évènement tel que l'on obtient une fois 6 en lançant 4 fois un dé.

P(A) = 4/6

Soit B l'évènement tel que l'on obtient une fois un double six en lançant 24 fois une paire de dés.

Comme vu dans l'exo 1, on a 21 issues, donc :

P(B) = 24/21 > P(A)

Par conséquent, il est plus probable d'obtenir un double 6 en lançant 24 fois une paire de dés que d'obtenir au moins une fois 6 en lançant 4 fois un dé.

[martini_bird]

Dans les deux cas les univers sont beaucoup plus gros... It's wrong.

[kNz]

Salut,

Pour le premier évènement, l'univers est de 6⁴ issues, et on a 15 chances de faire au moins un 6, on a :

quatre cas avec un 6 : 6xxx / x6xx / xx6x / xxx6
six cas avec deux 6 : 66xx / 6x6x / 6xx6 / x66x / x6x6 / xx66
quatre cas avec trois 6 : 666x / 66x6 / 6x66 / x666
un cas avec quatre 6 : 6666

On a donc 15 cas au total où l'on peut faire au moins un 6

Pour le deuxième évènement, l'univers est de 21²⁴ issues, et le dénombrement de cas où l'on peut faire au moins un double 6 est plus long, beaucoup plus long

Je pense quand même qu'on peut dire sans hésiter que l'on a plus de chances de faire au moins un 6 en quatre lancers d'un dé, que d'obtenir au moins un double 6 en lançant 24 fois deux dés, vu l'importance du seconde univers

Thanks.

[martini_bird]

Salut,

pour la première partie, quelles valeurs peuvent prendre les xxx ?

Pour la seconde pourquoi ?

Cordialement.

[kNz]

Je pensais que comme on lançait deux dés, on avait comme vu dans l'exo d'avant 21 issues, et comme on lance les dés 24 fois

[martini_bird]

Euh, le plus simple est je crois de compter les possibilités en numérotant les lancers (donc en rendant les dés discernables).

Pour la 2, Il peut être aussi plus astucieux de compter les cas défavorables.

[kNz]

Salut,

pour la première partie, quelles valeurs peuvent prendre les xxx ?

1,2,3,4,5

donc ça fait beaucoup plus de cas

donc ya 5 fois plus de cas => 75

Euh, le plus simple est je crois de compter les possibilités en numérotant les lancers (donc en rendant les dés discernables).

Donc l'univers pour la 2 est encore plus grand, il n'y a plus 21 issues mais 36

décidément les probas

PS : pourquoi rendre les dés discernables ? ils ne le sont pas si on les lance en même temps pourtant, je rame vraiment ...

[kNz]

Encore dit n'importe quoi pour la 1, il y a encore bien plus de cas ...

Pour un 6 :

6xxx => 5³ cas

Il en est de même pour les trois autres cas avec un seul 6, donc on a au total 4.5³ cas possibles pour un 6

Pour deux 6 :

66xx => 5² cas

Il en est de même pour les cinq autres cas avec deux 6, donc on a au total 6.5² cas possibles pour deux 6.

Pour trois 6 :

666x => 5 cas

Il en est de même pour les trois autres cas avec deux 6, donc on a au total 4.5 cas possibles pour trois 6.

Pour quatre 6, il n'y a qu'un cas.

Total des cas :

4.125 + 6.25 + 4.5 + 1 = 500 + 150 + 20 + 1 = 671 cas où on a au moins un 6.

[kNz]

Si je résume pour la 1, j'ai

Pour la 2, si je reprends un univers de issues, il faut compter les cas où je n'ai aucun double 6, càd cas non ?

L'overdose approchant, je vais manger

Merci.

[kNz]

Bon ba je continue dans mon monologue avec l'exo 4 puisque l'exo 3 j'ai peur de continuer, je dois avoir faux.

Exo 4

1) L'univers considéré est de 8⁴ issues.

a. On a 8 cas possibles d'avoir quatre portraits identiques, avec les 8 portraits différents, donc

b. Pour 3 portrais identiques, on a quatre possibilités de disposition des portraits :

XXXY
XXYX
XYXX
YXXX

Dans chacun des cas, Y peut être un des 7 autres portraits, donc on a 28 cas possibles par portrait, donc 224 cas au total pour 3 portraits identiques (et 3 uniquement).

Par conséquent,

c. Pour 4 portraits distincts, je dirais qu'on a 8*7*6*5 cas possibles. Je ne sais pas si c'est bon...

On aurait donc

Thanks

[martini_bird]

Salut,

(désolé pour l'absence)

Ok pour le 1 du 3 (671 cas favorables pour 6^4 tirages).

2 de l'exo 3 : la taille de l'univers est fausse.

Exo4. a ok ; b : tu y es presque (c'est faux à partir de « donc on a 28 cas possibles par portrait »). c : ok.

Cordialement.

[kNz]

Salut,

(désolé pour l'absence)

No problem

2 de l'exo 3 : la taille de l'univers est fausse.

Laissons l'exercice 4 de côté puisque tu es revenu, je veux d'abord finir le 3

Je suppose que le problème vient de la différenciation des dés, nous n'avons plus alors 21 issues mais 36 pour le lancer de deux dés, l'univers serait alors constitué de 36²⁴ issues.

Cordialement.

[kNz]

J'aime bien réfléchir en écrivant

Si les dés étaient indifférenciables, on aurait autant de chance de faire le couple (3,4) et le couple (6,6) ce qui est faux puisque les valeurs des dés peuvent être intervertis dans le premier cas alors que dans le deuxième non.

Pour l'exo 4 b., on a bien quatre combinaisons possibles :

XXXY
XXYX
XYXX
YXXX

Y peut prendre 7 valeurs différentes (abus de langage puisque ce sont des tableaux) on a donc 7 issues par combinaison, qui sont au nombre de 4, d'où 28 possibilités par portrait, qui sont au nombre de 8, d'où 224 cas possibles.

Je sais que je me suis répété, et pourtant je ne vois pas du tout où est l'erreur, c'est dur de voir une erreur qu'on doit refaire à chaque fois :?

Thanks.

[martini_bird]

Le 4b est juste. Désolé, j'ai lu un peu vite.

Sinon, pour les dés : tu as combien de possibilités pour le premier lancé ? Pour le second, etc. ?

[kNz]

Je ne comprends pas...

Pour le premier lancer, je compte 36 possibilités comme je l'ai déjà dit, idem pour le second, etcaetera d'où le 36²⁴

[kNz]

Exo 4 (Suite)

La loi de probabilité de G est :



L'espérance mathématique est :




Par conséquent, puisque E(X) < 1 (prix du jeu), le jeu est rentable pour le casino.

Thanks