[Maths] [L1] Inclusion et intersection de groupes

[doryphore]

Soient G un groupe et deux sous groupes de G.

a) On suppose que est un sous groupe de G. Montrer que ou .

b) Si les ordres de et sont finis et premiers entre eux, que dire de ?
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[invite4b9cdbca]

Bon pour la question 1 je vois grosso modo ce qu'il faut faire, je viendrai soumettre ma démo un autre jour, mais pour la 2 j'avoue ne pas comprendre l'énoncé...
C'est quoi un ordre ?? et finis, premiers ???

[doryphore]

Je vais répondre à une de tes questions, le reste en découle immédiatement.
Alors quand un groupe (G,.) est fini, l'ordre de (G,.) est le cardinal de G
Les ordres étant des nombres entiers, deux ordres peuvent donc être premiers entre eux .

[AriesSith]

Je me permet juste de répondre à la deuxième question...
en fait si on utilise le théorème de Lagrange :
(H1 : 1) = (H1 : ) ( : 1)

Il s'ensuit que [ : 1] divise [H1 : 1]

Par un même raisonnement [ : 1] divise [H2 : 1]

Or, puisque [H1 : 1] et [H2 : 1] sont premiers entre eux, [ : 1] = 1

J'en conclut que [ = {e}

PS : [H1 : 1] est le notation de l'indice de{e} dans H1 c'est à dire son cardinal.

[A voir en vidéo sur Futura]

[AriesSith]

Je me permet juste de répondre à la deuxième question...
en fait si on utilise le théorème de Lagrange :
[H1 : 1] = [H1 :H1 inter H2] [H1 inter H2 : 1]

Il s'ensuit que [H1 inter H2 : 1] divise [H1 : 1]

Par un même raisonnement [H1 inter H2 : 1] divise [H2 : 1]

Or, puisque [H1 : 1] et [H2 : 1] sont premiers entre eux, [H1 inter H2 : 1] = 1

J'en conclut que H1 inter H2 = {e}
PS : H1 inter H2 est l'intersection de H1 et H2
[H1 : 1] est le notation de l'indice de{e} dans H1 c'est à dire son cardinal.

Désolé ... je ne sais pas utiliser TeX

[doryphore]

Pourquoi, peux-tu utiliser le théorème de Lagrange, ici ?

Pour les notations des ordres des groupes, je pense qu'il vaut mieux écrire |G| à l'aide de la touche Alt + 6. Le recours à la notation de l'indice me semble improductive ici...

[AriesSith]

Et bien le théorème de Lagrange est clairement applicable car ici :

{e}

Voilà.

PS : J'ai progressé en LaTeX ... je m'y suis mis hier soir ...

[doryphore]

Je suis pointilleux, c'est mon rôle et je considère que tu n'as pas explicité suffisamment que nous étions dans les conditions d'application du théorème de Lagrange: il manque un détail qui peut avoir son importance, surtout s'il t'a échappé.
Bravo pour Latex.

[AriesSith]

Euhh ... la précision qui manque est-elle est un sous groupe de

[doryphore]

Oui, c'est cela les intersections de sous-groupes sont des sous-groupes: ce qui n'est pas le cas a priori pour leurs réunions.

Or, le cardinal d'un sous-ensemble quelconque d'un groupe ne divise pas forcément le cardinal du groupe: ce n'est vrai que pour les sous-groupes.

Il reste la première partie à faire...

[g_h]

Soient G un groupe et deux sous groupes de G.

a) On suppose que est un sous groupe de G. Montrer que ou .

C'est parti !

(définition de l'implication)

Il suffit donc de montrer (je ne trouve pas le symbole "non inclu dans" )

On suppose donc que H1 n'est pas inclu dans H2.

Déjà, H1 et H2 ne sont pas vides (ils contiennent au moins l'élément neutre)
On peut donc choisir x tel que et
Et on choisit y quelconque,

On a : par hypothèse (c'est un groupe, il est donc stable)
On peut avoir :
, ce qui est impossible car cela entraînerait d'où
On a donc forcément :
, donc , d'où

Au final, puisqu'on a pris y quelconque, on a
Ce qui équivaut à

Ainsi, on a montré l'implication recherchée ! Ouff!
Sauf erreur... !

Et merci pour cet exo !

[AriesSith]

Pour compléter cet exercice, quelqu'un peut-il donner un exemple, de 3 sous-goupes dont la réunion est G où G est un groupe à 4 éléments ?

[doryphore]

Je ne vois pas d'erreurs dans le raisonnement de g_h.

Merci de m'avoir fait réviser un peu de logique
Il y a d'ailleurs un Hors série de Pour la Science consacré aux chemins de la logique en ce moment.

On y apprend notamment que ta démonstration basée sur le principe du tiers exclu n'aurait pas satisfait les intuitionnistes même si elle est parfaitement correcte du point de vue de la logique classique.

Pour AriesSith, il me semble que j'ai trouvé, mais je ne dois pas avoir le droit de jouer ...

[g_h]

Pour compléter cet exercice, quelqu'un peut-il donner un exemple, de 3 sous-goupes dont la réunion est G où G est un groupe à 4 éléments ?

Je dirais, par exemple, en prenant G = {1, -1, i, -i} muni de la multiplication "usuelle"

Et 3 sous groupes de G dont la réunion est G :
- {1}
- {-1, 1}
- {-1, 1, -i, i}

[AriesSith]

Bravo g_h !
Quel talent !

Doryphore> Biensur que oui tu peux participer !