Soient a et b2 deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.
1/ Montrer que, avec
et
et exprimer en fonction de
, a et b tous les couples
solutions de
.
2/ Déterminer deux entiers u et v vérifiant![]()
-----
Soient a et b2 deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.
1/ Montrer que, avec
et
et exprimer en fonction de
, a et b tous les couples
solutions de
.
2/ Déterminer deux entiers u et v vérifiant![]()
Pour la 2
Alors on trouve u=26 et v=-11
Pour les détailles, je les écrirais demain. En attendant je vous laisse réfléchir.
Alors, une solution un peu abracadabrante :
a et b2 sont deux entiers naturels premiers entre eux
D'après le théorème de Bezouttel que
Donc il existevérifiant
(cf théorème de Bézout en remplaçant v par -v)
De plus,
, avec
![]()
, avec
En posanton obtient :
Ce qui équivaut à,
D'où,
Mais là je bloque ...
Pour la 2
111 = 47*2 + 17
47 = 17*2 + 13
17 = 13*1 + 4
13 = 4*3 + 1
=> 1=13 - 4*3
1 = 13 - 3(17-13) = 4*13 - 3*17
1 = 4(47-2*17) - 3*17 = 4*47 - 11 * 17
1 = 4*47 - 11(111-2*47)
1 = 26*47 - 11*111
finalement : u=26 et v=-11
Pour la 1
Donc
or a et b sont premiers entre eux, alors
on fait pareil pour a, on trouve
On obtient :
![]()
Jusque là je suis d'accord à condition de prouver l'existence de u et de v tel queEnvoyé par iwio
Pour la 1
Donc
or a et b sont premiers entre eux, alors
on fait pareil pour a, on trouve
C'est ce qui me manquait dans ma démo !On obtient :
![]()
![]()
Bravo !
Peut-on en avoir d'autres des exercices ?![]()
Je comprend pas trop ce que tu veux dire. Tu veux que je dise que si a et b, sont premiers entre eux, alors "Théorème de Bezout", il existe une infinité de coupleEnvoyé par AriesSith
Jusque là je suis d'accord à condition de prouver l'existence de u et de v tel quetel que aU+bV = 1. avec ici
=> au - bv = 1
C'est ça ?
par exemple ... oui![]()
Donc je comprend pas trop, mais j'ai réussi à répondre ^^Envoyé par AriesSith
par exemple ... oui
Et bien dans la question posée il me semble qu'il est demandé l'existence et l'unicité c'est juste un point de détail... mais je suis d'accord, tu as trouvé le résultat.![]()
Je ne crois pas que l'on demande l'unicité. Il demande pas tous les couples (u,v)Z² ?
Bonsoir !
Je parle de l'existence et de l'unicité dec'est la première partie de la question 1.
Oui j'avais pas vu.
Mais, je sais pas comment démontrer l'unicité.
Sauf peut être, en disant d'après le théorème de Bezout...
non... l'unicité vient de la division euclidienne (unicité du reste dans la division depar
et de
par
)
Le théorème de Bézout nous donne plusieurs couplesmais la division euclidienne nous donne un unique couple
![]()
HA ben oui. C'est vrai. C'est même comme ça que j'ai fait pour determiner u et v du 2).Envoyé par AriesSith
Le théorème de Bézout nous donne plusieurs couplesmais la division euclidienne nous donne un unique couple
Merci AriesSith, ça m'a fait une très bonne révision.
Merci à toi pour ta démo ...
Moi aussi ça m'a permis de revoir ça ...![]()
Ce que je te conseille, c'est de n'utiliser la division euclidienne que pour l'un des deux nombres u ou v.Envoyé par AriesSith
Alors, une solution un peu abracadabrante :
a et b2 sont deux entiers naturels premiers entre eux
D'après le théorème de Bezouttel que
Donc il existevérifiant
(cf théorème de Bézout en remplaçant v par -v)
De plus,
, avec
![]()
, avec
En posanton obtient :
Ce qui équivaut à,
D'où,
Mais là je bloque ...
Par exemple, si tu choisis d'exprimer queavec
, tu pourras en déduire
sans avoit recours à un autre queotient
et ça devrait te permettre de conclure...
Ok, on était sûr que u et v existaient car ils sont premiers entre eux.Envoyé par iwio
Pour la 2
111 = 47*2 + 17
47 = 17*2 + 13
17 = 13*1 + 4
13 = 4*3 + 1
=> 1=13 - 4*3
1 = 13 - 3(17-13) = 4*13 - 3*17
1 = 4(47-2*17) - 3*17 = 4*47 - 11 * 17
1 = 4*47 - 11(111-2*47)
1 = 26*47 - 11*111
finalement : u=26 et v=-11
Il y a une petite erreur ici (on avait fait exprès de regarder ua-bv plutôt que ua+bv pour que la deuxième égalité soit plus sympathique...)Envoyé par iwio
Pour la 1
Donc
or a et b sont premiers entre eux, alors
on fait pareil pour a, on trouve
On obtient :
Ce serait bien que tu rapelle le nom de la propriété qui te permet de conclure queEnvoyé par iwio
.
Et que tu m'explique pourquoi on a un seul k alors que tu as obtenu la divisibilité pour a indépendemment de b.
Enfin, il aurait fallu dire que les couples de nombres dont tu viens de démontrer qu'il s'écrivent nécessairement sous la formesont bien des solutions.