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[Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2



  1. #1
    doryphore

    [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2


    ------

    Soient a et b2 deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.

    1/ Montrer que , avec et et exprimer en fonction de , a et b tous les couples solutions de .

    2/ Déterminer deux entiers u et v vérifiant

    -----
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  3. #2
    iwio

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Pour la 2
    Alors on trouve u=26 et v=-11
    Pour les détailles, je les écrirais demain. En attendant je vous laisse réfléchir.

  4. #3
    AriesSith

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Alors, une solution un peu abracadabrante :
    a et b2 sont deux entiers naturels premiers entre eux

    D'après le théorème de Bezout tel que

    Donc il existe vérifiant (cf théorème de Bézout en remplaçant v par -v)

    De plus,
    , avec
    , avec

    En posant on obtient :




    Ce qui équivaut à,



    D'où,

    Mais là je bloque ...

  5. #4
    iwio

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Pour la 2

    111 = 47*2 + 17
    47 = 17*2 + 13
    17 = 13*1 + 4
    13 = 4*3 + 1


    => 1=13 - 4*3
    1 = 13 - 3(17-13) = 4*13 - 3*17
    1 = 4(47-2*17) - 3*17 = 4*47 - 11 * 17
    1 = 4*47 - 11(111-2*47)
    1 = 26*47 - 11*111

    finalement : u=26 et v=-11

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    iwio

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Pour la 1



    Donc



    or a et b sont premiers entre eux, alors



    on fait pareil pour a, on trouve

    On obtient :




  8. #6
    AriesSith

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Citation Envoyé par iwio
    Pour la 1



    Donc



    or a et b sont premiers entre eux, alors



    on fait pareil pour a, on trouve
    Jusque là je suis d'accord à condition de prouver l'existence de u et de v tel que

    On obtient :



    C'est ce qui me manquait dans ma démo !

    Bravo !

    Peut-on en avoir d'autres des exercices ?

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  10. #7
    iwio

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Citation Envoyé par AriesSith
    Jusque là je suis d'accord à condition de prouver l'existence de u et de v tel que
    Je comprend pas trop ce que tu veux dire. Tu veux que je dise que si a et b, sont premiers entre eux, alors "Théorème de Bezout", il existe une infinité de couple tel que aU+bV = 1. avec ici
    => au - bv = 1

    C'est ça ?

  11. #8
    AriesSith

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    par exemple ... oui

  12. #9
    iwio

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Citation Envoyé par AriesSith
    par exemple ... oui
    Donc je comprend pas trop, mais j'ai réussi à répondre ^^

  13. #10
    AriesSith

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Et bien dans la question posée il me semble qu'il est demandé l'existence et l'unicité c'est juste un point de détail... mais je suis d'accord, tu as trouvé le résultat.

  14. #11
    iwio

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Je ne crois pas que l'on demande l'unicité. Il demande pas tous les couples (u,v) Z² ?

  15. #12
    AriesSith

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Bonsoir !
    Je parle de l'existence et de l'unicité de c'est la première partie de la question 1.

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  17. #13
    iwio

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Oui j'avais pas vu.
    Mais, je sais pas comment démontrer l'unicité.
    Sauf peut être, en disant d'après le théorème de Bezout...

  18. #14
    AriesSith

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    non... l'unicité vient de la division euclidienne (unicité du reste dans la division de par et de par )

  19. #15
    AriesSith

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Le théorème de Bézout nous donne plusieurs couples mais la division euclidienne nous donne un unique couple

  20. #16
    iwio

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Citation Envoyé par AriesSith
    Le théorème de Bézout nous donne plusieurs couples mais la division euclidienne nous donne un unique couple
    HA ben oui. C'est vrai. C'est même comme ça que j'ai fait pour determiner u et v du 2).

    Merci AriesSith, ça m'a fait une très bonne révision.

  21. #17
    AriesSith

    Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Merci à toi pour ta démo ...
    Moi aussi ça m'a permis de revoir ça ...

  22. #18
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Citation Envoyé par AriesSith
    Alors, une solution un peu abracadabrante :
    a et b2 sont deux entiers naturels premiers entre eux

    D'après le théorème de Bezout tel que

    Donc il existe vérifiant (cf théorème de Bézout en remplaçant v par -v)

    De plus,
    , avec
    , avec

    En posant on obtient :




    Ce qui équivaut à,



    D'où,

    Mais là je bloque ...
    Ce que je te conseille, c'est de n'utiliser la division euclidienne que pour l'un des deux nombres u ou v.
    Par exemple, si tu choisis d'exprimer que avec , tu pourras en déduire sans avoit recours à un autre queotient et ça devrait te permettre de conclure...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  24. #19
    doryphore

    Thumbs up Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Citation Envoyé par iwio
    Pour la 2

    111 = 47*2 + 17
    47 = 17*2 + 13
    17 = 13*1 + 4
    13 = 4*3 + 1


    => 1=13 - 4*3
    1 = 13 - 3(17-13) = 4*13 - 3*17
    1 = 4(47-2*17) - 3*17 = 4*47 - 11 * 17
    1 = 4*47 - 11(111-2*47)
    1 = 26*47 - 11*111

    finalement : u=26 et v=-11
    Ok, on était sûr que u et v existaient car ils sont premiers entre eux.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  25. #20
    doryphore

    Smile Re : [Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

    Citation Envoyé par iwio
    Pour la 1



    Donc



    or a et b sont premiers entre eux, alors



    on fait pareil pour a, on trouve

    On obtient :



    Il y a une petite erreur ici (on avait fait exprès de regarder ua-bv plutôt que ua+bv pour que la deuxième égalité soit plus sympathique...)

    Citation Envoyé par iwio

    Ce serait bien que tu rapelle le nom de la propriété qui te permet de conclure que .
    Et que tu m'explique pourquoi on a un seul k alors que tu as obtenu la divisibilité pour a indépendemment de b.

    Enfin, il aurait fallu dire que les couples de nombres dont tu viens de démontrer qu'il s'écrivent nécessairement sous la forme sont bien des solutions.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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