[Maths] [L1] Espaces précompacts et compacts

[invite3bc71fae]

Un espace est précompact si pour tout , il existe un recouvrement fini de cet espace par des boules de rayon .
Montrer qu'un espace métrique précompact et complet est compact.
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[invitea8d97425]

Hum, propriété intéressante....

Néanmoins, j'ai du mal à partir : ayant essayé de me ramaner à la propriété de Borel-Lebesgue sur les ouverts, je ne suis pas arrivé à grand chose, la complétude n'apparaissant pas.
Dans ce cas, des suites : OK, mais comment faire intervenir la précompacité ? En cours, ces démos-là ont été souvent faites par l'absurde, ce qui permettait de construire une suite assez facilement. Ici,

[invite3bc71fae]

Pour répondre à cet exercice, je conseille plutôt de caractériser la compacité par la propriété de Bolzano-Weierstrass, donc les suites...

On part donc d'une suite quelconque et on doit en extraire une sous-suite convergente.

Seulement, la complétude de l'ensemble devrait te permettre d'avoir à démontrer une propriété un peu moins forte que la convergence de la sous-suite et ce grace à la propriété de précompacité de l'ensemble.

1. On considère une suite quelconque.
2. Avec la précompacité, on fabrique à partir de la suite choisie une sous-suite avec une certaine propriété.
3. On conclut sans rien omettre.

[invite3bc71fae]

... et ce grace à la propriété de précompacité de l'ensemble.

Je me suis peut-être mal exprimé, c'est la propriété moins forte de la sous-suite que tu obtiens grace à la précompacité

[A voir en vidéo sur Futura]