l'infini en logiques mathématiques

[ThM55]

Pour revenir à la question initiale, une chose très intéressante qu'on n'a pas encore mentionnée ici je crois (mais je n'ai pas tout lu): la théorie des ordinaux transfinis de Cantor. Je trouve que c'est une création extraordinaire. Je me souviens avoir expliqué cela il y a longtemps à un ami étudiant en philosophie, il en a été complètement stupéfait. Peut-être la plus importante des créations de Cantor, car elle est bien formalisée dans l'univers de Von Neumann. On reste pourtant dans le domaine du dénombrable. De plus, j'ai toujours trouvé extraordinaire son emploi dans la preuve de la convergence des suites de Goodstein. Voici un article très amusant et clair qui en parle: https://www.apmep.fr/Les-suites-de-G...x-et-bon-ordre .
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[Médiat]

La théorie des ordinaux vont bien au-delà du dénombrable.

[ThM55]

La théorie des ordinaux vont bien au-delà du dénombrable.

Oui c'est vrai, je pensais aux applications dans le fini, comme Goodstein. Je voulais mentionner ce sujet car je constate que lorsqu'on parle de Cantor dans ce contexte on fait grand cas des cardinaux transfinis qu'il a introduits et du problème du continu et plus rarement de la théorie des ordinaux, qui est pourtant très riche et qui montre la possibilité de faire des raisonnements élaborés sur l'infini actuel. Une généralisation est celle des nombres surréels de Conway.

[pm42]

Une généralisation est celle des nombres surréels de Conway.

Ce qu'à titre indicatif, je trouve être une magnifique construction mathématique. Quand j'ai découvert, j'étais émerveillé comme devant certaines oeuvres d'art.
Mais ce n'est pas étonnant de la part de Conway qui était remarquablement créatif.

[Médiat]

A ce sujet, je considère "Comment deux anciens étudiants découvrirent les mathématiques pures et vécurent heureux" de Donald Knuth, comme le plus beau texte mathématique possible, la meilleure façon de désapprendre de mauvais reflexes afin d'apprendre les mathématiques.

[pm42]

A ce sujet, je considère "Comment deux anciens étudiants découvrirent les mathématiques pures et vécurent heureux" de Donald Knuth, comme le plus beau texte mathématique possible, la meilleure façon de désapprendre de mauvais reflexes afin d'apprendre les mathématiques.

Je ne connaissais pas. Merci.

[oualos]

Ce qui est très intéressant c'est aussi la controverse Wittgenstein-Cantor sur les nombres transfinis.
Wittgenstein était de l'école formaliste/pragmatiste alors que Cantor comme Platon avant lui, Gödel et Alain Connes ainsi que d'autres étaient plutôt platoniciens et croyaient aux idéalités mathématiques

[oualos]

Voici 3 devises percutantes dans l’esprit de Wittgenstein :
« L’infini n’existe pas hors des règles du jeu ; il ne vit que dans notre langage. »
« La diagonale de Cantor ne découvre rien : elle montre juste comment étendre le jeu. »
« Les nombres transfinis sont des inventions, pas des trésors cachés du cosmos mathématique. »

[gg0]

Bonjour.

Tu as oublié la plus célèbre :
« Ce dont on ne peut parler il faut le taire. »

Mais tout ça n'a aucun rapport avec ce forum consacré à la logique mathématique, qui s'est développée en dépit des objurgations de certains philosophes.

[oualos]

c'est vous qui citez la remarque philosophique hyper célèbre qui conclut le Tractatus consacré à la logique mathématique. Les autres sont des remarques d'un pragmatiste nourries au bon sens.
Selon lui.
Mais on peut parler de l'infini, ça n'empêche pas et ça n'empêchera jamais personne d'en parler.

[pm42]

Les autres sont des remarques d'un pragmatiste nourries au bon sens.

Ah bon ? J'aurais dit "un gigantesque n'importe quoi qui montre qu'il ne comprenait pas grand chose aux maths dont il parlait.
Cela fait penser aux réticences quelques siècles plus tôt quand on introduit les nombres imaginaires qu'on appelle comme ça pour cette raison.
A l'époque, c'est compréhensible : le cadre dans lequel on fait des maths est relativement étroit.

Mais quand Wittgenstein sort ça, on est contemporain de Gödel, on a déjà élargi le cadre.

Bien sur, il va justifier tout cela en l'enrobant de non platoniscisme, etc mais la capacité des gens à justifier leurs biais en construisant de grandes théories est immense et notamment en sciences humaines. En philosophie, c'est carrément la définition du domaine.

[gg0]

Oualos,
j'ai lu sérieusement le "tractatus", en réfléchissant posément à ce qui y est dit. Et je trouvais ça "faible", même philosophiquement. Cet texte essayait de ressembler à un exposé scientifique axiomatique, mais il n'y a pas de liaison logique entre ses affirmations principales. Et son principal défaut est de se baser sur la notion de "fait", notion très floue (ce qui est "fait" pour l'un ne l'est pas pour l'autre).
En tout cas, tes interventions sur Wittgenstein sont sans intérêt ici, on parle de mathématiques, de logique mathématique. Pas d'histoire de l'épistémologie.

[oualos]

On parle de l'infini en logique mathématique (c'est le titre du topic), donc tout ce qui a trait à l'infini via les mathématiques est a priori intéressant.
Si on n'est pas d'accord avec Wittgenstein ou un autre on le manifeste et on l'écrit: c'est le principe du forum.
L'histoire des sciences est pleine de controverses et vous citez à juste titre le nombre imaginaire: c'est ça qui contribue à les faire avancer non ?
Mais si ça vous gêne j'arrête là avec Wittgenstein. D'ailleurs je vois pas ce qu'il y a de plus à dire.

[gg0]

On parle de l'infini en logique mathématique (c'est le titre du topic), donc tout ce qui a trait à l'infini via les mathématiques est a priori intéressant.
Si on n'est pas d'accord avec Wittgenstein ou un autre on le manifeste et on l'écrit: c'est le principe du forum.

Non, le principe d'un forum de mathématiques est de parler de mathématiques. Tu as suffisamment fait dévier ce fil.

[oualos]

Allez-y continuez de parler entre vous alors.
Il n'y a pas de fil prédéterminé et fixé dans un topic à part de rester proche du titre qu'on doit respecter (obligatoire) et le fait de devoir rester dans le sujet, sinon seules des louanges béates seraient autorisées ce qui a pas grand intérêt en soi et ne correspond pas vraiment à ce qu'on attend d'une démarche scientifique: c'est juste idéologique, une sorte de ligne comme un parti.
Une démarche scientifique est critique mais j'arrête là ça n'a aucun intérêt pour moi ce type de discussion où l'on ferme les portes dès qu'on émet une critique ou que l'on parle du sujet du topic mais d'une autre manière, disons de façon plus latérale et sous un autre angle mais qu'on parle de la même chose.
j'ai appris tout ce qu'il y avait à apprendre merci pour les références que j'ai consultées et elles sont intéressantes
continuez de parler entre vous mais rappelez-vous que l'évolution des sciences est constituée de ruptures en grand nombre avec ce qu'on avait cru jusqu'alors. Et ça Continue actuellement en physique...

[gg0]

Quel beau baratin ... révélateur !
Tu ne comprends rien aux maths, mais tu viens parler aux matheux. Et tu ne dis même rien !! Tu t'es contenté de citer un nom d'un philosophe, c'est tout.
Si tu avais eu une critique à faire, tu l'aurais faite au lieu de parler d'une discussion (??) datant de plus d'un siècle. Finalement, tu es venu faire le beau en pensant que les matheux ne connaissent pas L. W. et tu t'es piégé toi-même.
Ciao !

[oualos]

On se calme c'est fini cher monsieur!
J'aurais pu parler de Wittgenstein plus longuement mais ça aurait été hors sujet.
Il y a un deuxième Wittgenstein qui 10 ans après le Tractatus est devenu complètement critique vis-à-vis de lui-même, de sa production 10 ans avant. Dans le premier Tractatus il convoque les sciences du langage, les mathématiques et la philo pour construire une théorie dont la brique élémentaire est le fait.
Mais le "fait" est une notion tirée d'on ne sait pas trop d'où, sûrement pas des maths en tout cas! Le "fait" implique d'être reconnu par une voire même plusieurs personnes et du coup on s'écarte complètement là de la logique et des maths car dans les maths et la logique il n'est pas question de subjectivité même si Tarski plus tard essaiera de la réintroduire. Les logiques intuitionnistes et floues remettront une part de subjectivité qu'il s'agira de quantifier via des probabilités.

Allez mettez encore un message comme ça vous aurez le dernier mot cher monsieur: je vous le laisse sans remords

P.S. Une petite remarque en passant: pendant des siècles on s'est demandé si le nombre imaginaire existait. Plus personne ne ramène cette question chez les scientifiques car c'est un outil devenu évidemment indispensable dans des branches importantes de la physique.
Tellement indispensable qu'on n'éprouve plus le besoin de se demander s'il existe.
Par contre je ne sais pas -j'avoue mon ignorance- si l'infini sert en physique, peut-être dans la renormalisation et il s'agit de l'éliminer pour retrouver une cohérence dans les calculs.
Et ça marche d'après les physiciens apparemment!.

[GBZM]

Bonsoir,

Les logiques intuitionnistes et floues remettront une part de subjectivité qu'il s'agira de quantifier via des probabilités.

Je ne vois aucune part de subjectivité ni de probabilités dans la logique intuitionniste.

[Médiat]

pendant des siècles on s'est demandé si le nombre imaginaire existait. Plus personne ne ramène cette question chez les scientifiques car c'est un outil devenu évidemment indispensable dans des branches importantes de la physique.

pendant des siècles on s'est demandé si le nombre 1 existait. Plus personne ne ramène cette question chez les scientifiques car c'est un outil devenu évidemment indispensable dans des branches importantes de la physique.

pendant des siècles on s'est demandé si le nombre 0 existait. Plus personne ne ramène cette question chez les scientifiques car c'est un outil devenu évidemment indispensable dans des branches importantes de la physique.

etc.

[MissJenny]

Une petite remarque en passant: pendant des siècles on s'est demandé si le nombre imaginaire existait. Plus personne ne ramène cette question chez les scientifiques car c'est un outil devenu évidemment indispensable dans des branches importantes de la physique.
Tellement indispensable qu'on n'éprouve plus le besoin de se demander s'il existe.

Ce qui est pratique avec les mathématiques c'est qu'un objet existe dès qu'il est nommé (ou plutôt défini). En physique c'est moins clair : la matière noire, elle existe, elle n'existe pas? on ne sait pas. Mais les nombres imaginaires existent parce que Cardano a décidé qu'il existaient. Il n'y a pas d'autre raison.

[pm42]

Il est dommage de voir ce fil se faire confisquer par quelqu'un qui ne connait clairement pas les maths, veut parler philo depuis des années, se plaint qu'on ne le laisse pas faire alors que c'est dans la charte et que les forums dédiés existent, etc.

Si on se met à corriger toutes les énormités qu'il sort, on n'a pas fini d'autant que c'est ce qu'il cherche et il était plus intéressant d'échanger sur Conway, Knuth et les autres.

[Flyingbike]

Oualos merci de ne plus participer à ce fil sous peine de vacances forcées

[gg0]

Il est dommage de voir ce fil se faire confisquer par quelqu'un qui ne connait clairement pas les maths, veut parler philo depuis des années, ...

Tu es sûr ? Il n'a même pas parlé philo, il a seulement cité un nom de philosophe, et collationné quelques phrases sorties de leur contexte.

Cordialement.

[Médiat]

MissJenny, vous exposez un point de vue formaliste, que je partage, mais certains platoniciens pourraient être d'un avis différent (trancher entre les 2 n'est pas une question mathématique) cf. Woodin qui se demande si HC est vrai ou non (question qui revient à se demander quel est le sexe des anges, comme le dit Krivine).

[GBZM]

Bonjour,
Je vois tout de même une différence assez nette entre se demander si HC est vrai ou pas et se demander si un concept mathématique existe ou pas comme objet de pensée.

[Médiat]

Bonjour,
Si on pense que les objets mathématiques n'ont pas d'existence en dehors de l'activité mathématique, que peut bien vouloir dire "HC est vraie" (ou fausse), de quelle vérité parle-t-on ?

[MissJenny]

c'est ce qui est un peu mystérieux dans les mathématiques. D'un côté on peut les voir comme un pur jeu intellectiuel, où on se donne des règles arbitraires et on joue avec ces règles (comme le jeu d'échecs par exemple). Mais d'un autre côté certaines règles et certaines constructions paraissent plus "naturelles" que d'autres. Et on ne peut pas je pense rejeter cette notion de "naturel" comme relevant de la pure subjectivité, puisqu'll y a souvent un large consensus à ce sujet. Si c'est de la subjectivité c'est une subjectivité collective.

une autre chose que je trouve étrange et fascinante : de certaines parties de mathématiques on dit qu'elles sont "abstraites" ou même "très abstraites" (la théorie de catégories par exemple). Or l'ensemble des mathématiques est abstrait. Mais je crois que tous les mathématiciens s'entendent pour trouver certaines idées plus absraites que d'autres...

[pm42]

Mais d'un autre côté certaines règles et certaines constructions paraissent plus "naturelles" que d'autres. Et on ne peut pas je pense rejeter cette notion de "naturel" comme relevant de la pure subjectivité, puisqu'll y a souvent un large consensus à ce sujet.

Je veux bien des exemples parce que justement, beaucoup de constructions mathématiques n'ont historiquement pas du tout été naturelles comme le zéro, les complexes...

Et Stendhal par exemple qui avait le niveau pour rentrer à Polytechnique (mais a choisi de faire autre chose) trouvait incompréhensible que la multiplication de deux nombres négatifs donne un positif.

On peut aussi trouver les infinis non dénombrables ou l'axiome du choix naturel jusqu'au moment où on se rend compte qu'ils impliquent justement des choses totalement contre-intuitives.

[Médiat]

MissJenny, je tiens la "subjectivité collective" comme une part de la définition (une caractéristique) de la collectivité. La communauté entière des Scathophaga furcata est très claire sur la définition de ce qui est succulent, je ne partage pas pour autant cette subjectivité.

Si on parle de la "subjectivité collective" nommée mathématiques on se rapproche de A. Badiou.

[MissJenny]

je ne suis pas du métier donc je peux me tromper, mais je vais essayer de reformuler ma pensée. J'ai l'impression que, alors qu'a priori les mathématiciens peuvent énoncer des axiomatiques sans aucune limitation et les étudier tant qu'ils ne rencontrent pas de contradiction, en pratique ce n'est pas ce qu'ils font. Par exemple les axiomes de la topologie ne sont pas arbitraires, ils ne font que "modéliser" ce qu'on connaît ou perçoit des nombres réels, lesquels modélisent des notions intuitives de géométrie (entre deux points sur une droite il y a toujours un autre point, etc).

pour prendre un exemple particulier : le théorème de Jordan (qui dit que le complémentaire dans le plan d''une courbe fermée simple a deux composante connexes et qu'un arc qui a ses extrêmités dans les deux parties coupe nécessairement la courbe) peut être démontré à partir des axiomes de la topologie (plus de l'algèbre dans la démonstration que je connais) mais en fait je me demande si les axiomes de la topologie n'ont pas été énoncés précisément pour qu'on puisse en déduire ce théorème, et d'autres du même style.