l'infini en logiques mathématiques

[Anonyme007]

Bonsoir,

L'infini fait parti du domaine de l'analyse non standard, qui est un domaine marginalisé aujourd'hui depuis l'invention du calcul infinitésimal depuis quelques siècles. Aujourd'hui, dans les écoles, on ne traite que de l'analyse standard ( i.e, l'analyse classique qu'on apprend depuis le lycée ).
Récemment, ce domaine commence a avoir un peu d’intérêt dans le cadre de la théorie des topos. Voir ici, https://www.fuw.edu.pl/~kostecki/ittt.pdf page, 82.
Voir ici aussi, https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard pour te faire une idée sur ce qu'est l'analyse non standard.

Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

"L'infini fait parti du domaine de l'analyse non standard" C'est faux.
La réflexion mathématique sur les notions d'infini a largement précédé la notion de "non standard". La définition précise de "limite infinie", "limite à l'infini" et d'ensemble infini date du dix-neuvième siècle; les travaux de Robinson sont du vingtième.

[Médiat]

"L'infini fait parti du domaine de l'analyse non standard ", c'est vrai (et pas une notion potentielle comme dans le cas des limites), mais pas le domaine exclusif de l'analyse non standard

[MissJenny]

j'imagine qu'une idée intuitive de la notion d'ensemble infini doit exister depuis longtemps, puisqu'il y a la fameuse démonstration d'Euclide de l'infinité de l'ensemble des nombres premiers (ce n'est pas formulé comme ça bien sûr).

dans ma traduction anglaise : "There are more prime numbers than any assigned multitude of prime numbers".

[Médiat]

Bonjour MissJenny : c'est une bonne définition de l'infini potentiel, tel qu'on le trouve dans les définitions des limites faisant intervenir l'infini

[GBZM]

Bonjour,
@MissJenny : ça c'est de l'infini potentiel.
Dire que "l'infini fait partie du domaine de l'analyse non-standard" n'a pas grand sens. La formalisation de l'analyse non standard (assez récente, comme l'a écrit @gg0) se fait dans le cadre de ZF (la théorie axiomatique des ensembles), et c'est bien cette dernière qui est une théorie de l'infini.
Le rapprochement avec la théorie des topos fait encore moins de sens. Il y a confusion avec la géométrie différentielle synthétique, qui est bien différente de l'analyse non standard.

[JPhM]

C'est assez simple, en fait.
Prenons la correspondance un-à-un (appelée bijection). On peut la comprendre très facilement, et elle permet de vérifier que deux ensembles ont même nombre d'éléments pouvoir les compter -- pardon aux puristes pour les approximations de vocabulaire, il faudrait strictement parler de cardinalité.
Ainsi donc, supposons un jeune enfant qui ne sait pas compter au-delà de 10. Or il y a des assiettes sur une table, plus de 10, et il doit mettre autant de verres que d'assiettes présentes. Pour cela, il lui suffit de mettre un verre par assiette, et de s'assurer qu'il y a une assiette par verre. Sans savoir compter le nombre d'assiettes, il peut mettre autant de verres que d'assiettes. On dit que le cardinal de l'ensemble des assiettes est égal au cardinal de l'ensemble des verres.

Appliquons cela à l'ensemble des nombres entiers positifs.
Considération la fonction f qui à tout nombre entier positif n renvoie le double de n.

Ainsi, par f :
0 -> 0
1 -> 2
2 -> 4
3 -> 6
Etc.

Pour chaque nombre entier positif, on a un nombre pair positif.

A l'inverse, considération la fonction g qui à tout nombre pair positif m renvoie la moitié de m.
Ainsi par g :
0 -> 0
2 -> 1
4 -> 2
6 -> 3
Etc.

Pour chaque nombre pair positif, on a un nombre entier positif.

Comme avec l'illustration de l'enfant tout à l'heure, à chaque entier positif correspond un pair positif et à chaque pair positif correspond un entier positif.
Donc "il y a autant de nombres entiers positifs que de nombres pairs positifs", plus strictement : le cardinal de N est égal au cardinal de 2N, avec N ensemble des nombres entiers positifs.

MAIS :
D'une part N n'est pas vide, puisque 0 est élément de N.
D'autre part 2N est un sous-ensemble strict de N, c'est-à-dire d'une part tout élément de 2N est élément de N, et d'autre part il existe des éléments de 2N qui ne sont pas dans N, par exemple le nombre 1, qui est entier positif mais n'est pas pair.

Conclusion : N est un ensemble infini.

[Liet Kynes]

Le truc difficile à comprendre pour tout non-mathématicien, et ce, malgré l'hôtel de Hilbert, c'est que quel que soit un nombre réel, je peux toujours lui faire correspondre un nombre entier, pourtant parle-t-on de bijection entre R et N ? C'est surement la définition de la bijection qui est d'apparence simple qui pose un problème récurent de compréhension (je parle pour les non-mathématiciens) ?

[gg0]

Bonjour.

Il n'y a pas de bijection entre et . Au contraire, Cantor a bien montré que \mathbb R est non dénombrable.
Donc il n'y a pas de difficulté de compréhension ici, seulement une énorme erreur.

[Médiat]

Ce n'est pas ce qu'écrit Liet Kynes

[gg0]

Ah ! Effectivement, sa phrase est plus compliquée que ce que j'ai lu.
Pourquoi ne lui as-tu pas répondu toi-même ?

[gg0]

Bon, Liet Kynes, comme le monsieur ne veut pas te répondre, je vais le faire :
La notion de bijection est simple, très simple. Mais à condition de prendre sa définition complètement, de ne pas se contenter d'un bout de phrase. Surtout s'il ne dit rien : " quel que soit un nombre réel, je peux toujours lui faire correspondre un nombre entier" ???
Effectivement, " quel que soit un nombre réel, je peux toujours lui faire correspondre" le nombre entier 1. Et de même, quel que soit l'humain vivant en ce moment, je peux lui faire correspondre un nombre entier.

Mais ça n'a rien à voir avec la définition de mot mathématique "bijection". Donc il n'y a rien qui fasse une difficulté sauf si on emploie des mots sans s'occuper de ce qu'ils signifient. C'est cette façon de faire "qui pose un problème récurent de compréhension". mais la notion de bijection est très simple, même pour un non mathématicien, on l'enseignait en sixième il y a 50 ans, les enfants de 10/11 ans ne sont pas mathématiciens, que je sache.

Donc si tu as un problème "récurrent", regarde la définition de "bijection", et ce qu'elle dit exactement. On peut en reparler ...

[Médiat]

Les bergers du moyen âge utilisaient une bijection entre leur troupeau et une corde pour vérifier qu'ils avaient bien récupéré tous leurs moutons, cela ne doit pas être un concept trop poilu.

[Liet Kynes]

Le Robert donnes "Bijection = Application qui établit entre deux ensembles une relation telle que tout élément de l'un soit l'image d'un seul élément de l'autre"
Il n'est pas forcément évident de prouver qu'il n'existe pas d'application permettant qu'une telle relation existe entre deux ensembles , c'est cela que je veux dire.

[GBZM]

Bonjour,
Le procédé diagonal de Cantor fournit un moyen simple de prouver l'inexistence d'une bijection (en fait d'une surjection).

[Liet Kynes]

Est que j'ai compris si je dit que l’ensemble des parties dénombrables de R est indénombrable et est équipotent à l'ensemble des parties de N?

[gg0]

Quel rapport avec le procédé diagonal de Cantor ?

[Médiat]

Est que j'ai compris si je dit que l’ensemble des parties dénombrables de R est indénombrable et est équipotent à l'ensemble des parties de N?

L'ensemble des parties finies de est non dénombrable, et même l'ensemble des singletons de est non dénombrable (trivial, non ?), donc vous avez surement raté quelque chose.

[gg0]

Liet Kynes,

pour qu'on sache si tu as compris, il faut que tu nous rédiges un texte mathématique traitant de la question que tu as posée au message #38. Un bout de phrase comme celui du message #46 ne dit rien de ce qui se passe dans ta tête. Donc tu traduis mathématiquement "quel que soit un nombre réel, je peux toujours lui faire correspondre un nombre entier" (il y a plusieurs significations mathématiques, mais que veux-tu dire ?), puis tu vois avec le procédé diagonal de Cantor pourquoi il n'y a pas de bijection entre et .
En maths, on ne comprend vraiment qu'en faisant.

Cordialement.

[Liet Kynes]

Merci des réponses, j'ai pas eu le temps de "faire", j'ai mal compris l'idée de Mediat.. N est inclus dans R et est dénombrable, dans R tout sous-ensemble dénombrable est inclus dans un sous ensemble de R ?

[gg0]

Désolé, mais je n'ai ni compris
"Est-ce que j'ai compris si je dit que l’ensemble des parties dénombrables de R est indénombrable et est équipotent à l'ensemble des parties de N? "
ni compris pourquoi tu dis
"N est inclus dans R et est dénombrable, dans R tout sous-ensemble dénombrable est inclus dans un sous ensemble de R ? "

Pour la première phrase, j'ai mis en italique la partie que je ne comprends pas, faute même de savoir de quoi tu parles (*). Le message #48 de médiat te signalait que tu n'avais pas besoin de prendre des parties dénombrables, pour avoir un ensemble non-dénombrable, des parties finies, voire des parties à 1 élément chacune suffisent à obtenir un ensemble de parties non dénombrable.
Pour la deuxième phrase, tu enfonces des portes ouvertes, en particulier " dans R tout sous-ensemble dénombrable est inclus dans un sous ensemble de R ?", et même " dans R tout sous-ensemble [] est inclus dans un sous ensemble de R ?" puisque tout sous-ensemble est inclus dans lui-même. et aussi inclus dans R qui est un sous-ensemble de lui-même !!
Ça amène à se demander ce que tu comprends même de ce que tu écris, si tu n'alignes pas des mots "pour faire mathématique" sans en connaître la signification. Comme ce sont des notions accessibles à un enfant de 10 ans (on les a enseigné à cet âge en France vers 1970), permets-moi d'être inquiet.
En fait, tu te caches derrière ton petit doigt. Un minimum de rigueur dans l'expression te suffirait ... mais tu ne veux pas ...

(*) trop souvent, tu te contentes de manier des mots au lieu de t'expliquer : "t'expliquer' = "mettre les mots qu'il faut pour qu'on sache de quoi tu parles et ce que tu en penses)

[amineyasmine]

BONJOUR
Et si on ajoute un nouvel axiome ?

Un sous-ensemble infini d’un ensemble infini, a le même cardinal que l’ensemble lui-même.

D’un ensemble infini on ne peut extraire que des sous-ensembles infinis ayant le même cardinal

Ca serait quoi la contradiction ?

[Médiat]

Théorème de Cantor (1891)