Conjecture la récursivité dans les nombres univers ou comment ces nombres reboot.

[GaelC]

Bonjour, voici une conjecture que j'ai postulé il y a un moment déjà mais que je n'avais jamais formulé. Après avoir vu une vidéo de vulgarisation je m'en suis souvenu et l'ai soumise à chatgpt qui m'a confirmé qu'aucune conjecture similaire n'a été produite et aidé à faire une formulation propre et cohérente ainsi que les équations mais l'idée vient bien de moi. Je précise que je ne suis pas du tout mathématicien (niveau lycée). J'espère que ça pourra être utile ou a minima amuser quelqu'un. Si elle est fausse ou déjà connus désolé :/

Conjecture la récursivité dans les nombres univers :

Dans le cadre de la théorie des nombres, un nombre univers est défini comme un nombre réel dont le développement décimal contient toutes les séquences finies possibles de chiffres (en d’autres termes, un nombre normal en base 10). En considérant une telle densité d’information, je propose donc que tout nombre univers, par définition même de contenir toutes les suites finies possibles de chiffres, doit nécessairement exhiber une forme de récursivité juxtaposée, dans laquelle chaque bloc successif inclut exactement les précédents, suivis d'une nouvelle séquence. Cette structure serait une propriété inévitable, et non contingente, de toute suite universelle

Deux formes de récursivité hypothétiques :

Type I — récursivité additive simple :
Chaque bloc est construit à partir du précédent, augmenté d’une séquence arbitraire.

B₁ = a

B₂ = B₁ + B₁ +*b

B₃ = B₁ + B₂ + c

B₄ =*B₁ + B₂ +B₃ + d

etc.

Exemple :

B₁ = 12

B₂ = 12 + 12 + 45 = 121245

B₃ = 12 + 1245 + 78 = 12124578

B₄ = 12 + 1245 + 12124578 + 36 = 121245121245781212457836

etc.

Ce schéma peut s'exprimer de manière générale ainsi :

"Bₙ₊₁ = B₁ + B₂ + ... + Bₙ + xₙ" Ou "B_{n+1} = \sum_{k=1}^{n} B_k + x_n"

B1= a (bloc initial donné),

xn​​ est une séquence arbitraire (potentiellement aléatoire ou déterminée),

la somme est une concaténation juxtaposée (pas une addition numérique).

Type II — récursivité additive auto-répliquante :
Chaque bloc contient une duplication complète du bloc précédent avant d’être prolongé.

B₁ = a

B₂ = B₁ + B₁ + b

B₃ = B₂ + B₂ + c

B₄ =*B₃ + B₃ + d

etc.

Exemple :

B₁ = 12

B₂ = 12 + 12 + 45 = 121245

B₃ = 121245 + 121245 + 78 = 12124512124578

B₄ =*12124512124578 +*12124512124578 + 33 =*1212451212457812124512124578 33

etc.

Ce schéma peut s'exprimer de manière générale ainsi :

"Bₙ₊₁ = Bₙ + Bₙ + xₙ" Ou "B_{n+1} = \text{concat}(B_n, B_n, x_n)"

Type III — récursivité fonctionnelle mixte :
Chaque bloc est constitué de la concaténation du bloc précédent, d’une fonction quelconque appliquée à celui-ci, et d’une séquence libre.

Bₙ₊₁ = Bₙ + f(Bₙ) + xₙ

Ou dans une autre forme :

Bₙ₊₁ = Bₙ + xₙ + f(Bₙ)

où :

xₙ est une séquence arbitraire à chaque itération,

f(Bₙ) peut être une permutation, un renversement, une compression, ou toute transformation déterministe.
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[Médiat]

Bonjour,

Réfléchir est une activité saine, même si le résultat n'est pas à la hauteur des attentes, donc, de toute façon : bravo, mais je ne vois pas dans quelle catégorie tombe la constante de Champernowne.

Si vous avez un nombre univers vérifiant un de vos critères, qu'en est-il de ce même nombre auquel on ajouterait gogolplex fois 0 comme premières décimales ?

[GaelC]

Comme je l'ai dit je n'ai pas beaucoup de connaissances mathématiques donc je vais essayer, en commençant par aller regarder ce qu'est cette constante.

Si nous prenons cette constante, comment pouvons nous écrire l'équation :

Bx = abcdefghi
B1 = 0123456789
B2 = 10111213141516171819
Bn = n-1+a+n-1+b+n-1+c+n-1+d+n-1+e+n-1+f+n-1+g+n-1+h+n-1+i

Je laisse volontairement l'entièreté du message envoyé à chatgpt pour que tu ai la logique de comment je vois la récursivité juxtaposé dans cette constante.

Voici les équations que m'a donné l'IA mais je n'ai aucun moyen de les vérifier au vu de mes capacités et connaissances.

B₁ = concat(0, 1, 2, ..., 9)
B₂ = concat(10, 11, ..., 19)
B₃ = concat(20, 21, ..., 29)
...
Bₙ = concat(10(n - 1), 10(n - 1)+1, ..., 10n - 1)

Ou

B_n = \bigoplus_{k=0}^{9} \text{str}(10(n-1) + k)


Pour ce qui est du gogolplex, s'il est multiplié par 0 ça reste 0 non ? De toute façon je ne suis pas sûr d'avoir compris la question XD

[GaelC]

J'ai mis trop longtemps a éditer mon message donc voici l'édition que je voulais faire :


Pour ce qui est du gogolplex, s'il est multiplié par 0 ça reste 0 non ? Je ne suis pas sûr d'avoir compris la question. Ou tu veux dire d'ajouter un gogolplex de fois le nombre 0 ? Si c'est le cas alors si nous avons bien à faire à un nombre univers alors intuitivement je dirais que c'est la tranche de B1 (et donc tout les autres B par la suite) qui risque d'être agrandi de gogolplex^gogolplex en terme de taille, mais ça n'est pas sensé changer le fait que la suite de nombre est sensé se reproduire à un moment.
Si je prend la constante dont tu as parlé alors je crois que ce que j'ai montré avant reste valide mais voyons si j'ai saisi de quoi tu parles :

B1 : 0gogolplex0123456789
B2 : 101gogolplex011121314151617181 9

Dans ce cas là rien ne change

Ou

B1 : 0gogolplex01234567891011121314 15161...

Et là il faut chercher le point où la séquence reboot mais si c'est bien un nombre univers alors cette séquence est forcément contenue quelque part, mais je n'ai aucun moyen de vérifier ma conjecture par mon manque de connaissances et de capacité. Je ne suis pas sûr que l'on puisse trouver l'endroit où nous pouvons à minima retrouver ce début de séquence alors vérifier qu'il y a bien réflexivité juxtaposé encore moins je pense.

Si j'aurais dû attendre un admin pour éditer mon précédent message veuillez me pardonner mais j'avais peur de ne pas retrouver l'édition que je voulais faire, je n'ai pas bien saisi comment fonctionne le serveur (j'admets que je ne m'y suis pas spécialement penché dessus)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

En fait, si A est le début d'un nombre univers, vous dites qu'il est de la forme AA..., je suis d'accord que A doit se retrouver dans la suite, mais pourquoi tout de suite après ?

[GaelC]

Parce que si toute les séquences existe alors il existe obligatoirement une séquence qui est une demi séquence dupliqué et qu'il doit forcément y en avoir une qui a ces caractéristiques dont la première demi séquence commence du tout début.

C'est pour moi intrinsèque avec le fait d'être un nombre univers, sinon toute les séquences ne sont pas contenu en son sein et n'est donc pas un nombre univer

[Médiat]

D'où vient le "forcément" ?

[GaelC]

Je l'ai dit dans la phrase suivante, parce que s'il n'y a pas cette suite de chiffres alors le nombre ne contient pas toutes les séquences possible et n'est par définition pas un nombre univers.

[Médiat]

Pas forcément au début.

[GaelC]

Si, il doit y avoir une séquence qui réplique exactement tout les chiffres dans le même ordre depuis le début. Si je suis capable d'imaginer cette séquence elle doit obligatoirement être contenu dans un nombre univers qui par définition contient toutes les séquences possible.

[Verdurin]

Bonsoir,
il me semble qu'il y a un problème dans l'approche de GaelC : un nombre pris au hasard suivant une loi uniforme sur [0;1] est presque certainement un nombre univers.
On peut le voir de la façon suivante : on écrit 0, puis on lance un dé à dix faces et on ajoute le chiffre obtenu et on recommence. On regarde alors les séquences de n chiffres. En divisant la suite en blocs disjoints de n chiffres la probabilité d'avoir le bloc souhaité est faible mais non nulle. En essayant suffisamment longtemps, et l'infini c'est long surtout vers la fin, on va finir par obtenir cette suite presque certainement. Donc le nombre aléatoire est presque certainement un nombre univers.
Or une caractéristique du hasard est qu'on ne peut faire aucune prévision récursive.

[Médiat]

"Il doit y avoir" = vœu pieu, pas des mathématiques !

[GaelC]

Je comprends ton argumentaire, mais si par définition tout nombre univers contient toutes les séquences possible et imaginables alors il doit contenir une qui est une réplique de tout les chiffres dans le même ordre depuis le début du nombre jusqu'à lui, même si ça prend nb Graham^nb Graham^nd Graham avant de se produire.

[GaelC]

Pardon si j'ai donné l'impression d'un voeu pieux, je n'ai pas spécialement envie que ma conjecture soit vraie, je disais "doit" dans le sens de = dans le sens où nombre univers = toute séquence possible = séquence X2 depuis le départ car séquence possible

[gg0]

Bonjour GaelC.

C'est cette affirmation qui pose problème et te fait te fourvoyer : " il doit contenir une qui est une réplique de tout les chiffres dans le même ordre depuis le début du nombre jusqu'à lui,"
Tu as mal lu la définition de nombre univers : On y trouvera (mais où, on n'en sait rien), les décimales de tout nombre que l'on veut. Toi, tu veux qu'on y trouve à un endroit la suite des décimales depuis le début jusqu'à là. Ce n'est pas "les décimales de tout nombre que l'on veut", puisque tu ne connais pas le nombre que tu veux. Et tu choisis la place !!

Regarde la page Wikipédia, tu y trouveras des exemples, sur lesquels tu pourras t'essayer à faire fonctionner ton idée.


Cordialement.

NB : Dommage que tu ne sois pas un mathématicien, tu aurais pu étudier comment sont faits les nombres qui correspondent à ton idée. Que tu aurais transformée en une propriété mathématique.

[GaelC]

Bonjour gg0

Déjà merci pour le compliment ça fait toujours du bien à l'ego . Dommage que je n'ai jamais eu un professeur qui sache me transmettre la passion de cette discipline car je la trouve vraiment fascinante depuis que je m'y intéresse un peu grâce à des vulgarisateur, notamment Micmath et El JJ (ce dernier je pipe rien aux équations mais j'adore les concepts dont il parle et leurs conclusions)

Merci aussi pour ton explication, je comprends mieux ce et pourquoi je n'arrivais pas à saisir ce que me disait nos comparses, ils essayaient de me dire que j'abordais le problème sous un mauvais angle mais mon cerveau n'arrivait pas à percuter 藍.

Je vais aller voir sur wikipédia et reviendrai vous tenir informé de si ce principe est applicable sur les exemples du site.

Ce n'est pas un problème que je ne sois pas mathématicien, mon domaine c'est la philosophie, rien empêche que l'idée que j'ai eu puisse intéresser un jour un mathématicien qui en fera quelque chose si c'est possiblement faisable, c'est justement pour ça que je la partage, au cas où. Mon insistance venait de mon côté philosophe, un besoin de comprendre l'idée que j'ai en tête, a minima en quoi le postulat est erroné, en rien un problème avec le fait d'avoir tort, et en écrivant ces mots je me rend compte que ça à été une erreur de ma part de ne pas formuler ça plus tôt.

[GaelC]

Je viens d'essayer avec la concaténation des puissances de 2 et la suite de Fibonacci et ça fonctionne aussi.

Puissance de 2

Bn = Bn-1 x 2

Pour Fibonacci

Bn = (Bn-2+Bn-1)


Ensuite j'ai aussi repensé à l'interprétation d'un nombre univers et je pense encore avoir besoin de vos lumières car il y a quelques chose que je ne comprends pas.

Si toute les séquences sont trouvable dans un nombre univers est-ce qu'une séquence qui se répète de manière juxtaposé existe (bdghiAAquidb) ?

Est-ce que l'on pourrait aussi retrouver A (A étant une séquence de X chiffres donnés à partir du début, par exemple simplement 1,23) n'importe où plus loin dans un même nombre univers ?

Si c'est 2 questions sont juste alors qu'est-ce qui empêche l'existence de la fusion de ces 2 exemples dans un nombre univers.

L'application de l'idée de variable à des nombre univers avéré comme la constante de Chambernown, la concaténation des puissances de 2 et la suite de Fibonacci est-elle juste ?

Désolé si je suis casse pied, ce n'est pas du tout le but, encore une fois je cherche plus à comprendre en quoi j'ai tort dans ma compréhension.

La question de cette conjecture m'avait l'air trivial au début mais est en fait assez importante parce que si elle est vrai alors soit Pi n'est pas un nombre univers, soit un nombre irrationnel peut avoir des décimales qui se répète, soit Pi n'est pas irrationnel. Du coup j'espère vraiment que vous allez répondre non à mes questions XD.

[gg0]

Oui, une séquence juxtaposée peut être trouvée dans un nombre univers : tu choisis la séquence A, alors AA est une séquence et on la trouvera quelque part. Tu peux même prendre pour A les X premiers chiffres du début et tu retrouveras dans ton nombre la séquence AA quelque part (attention, pas "n'importe où"). Par exemple dans le nombre 0,123456789101112... avec X=3, la séquence 123123 apparaîtra après 123122 et avant 123124. Mais pas dans les 200 premiers chiffres.

Si ton idée est qu'on va avoir une écriture ABAA qui est une séquence qu'on peut retrouver plus loin et donc avoir ABAACABAA, séquence qu'on peut retrouver plus loin et donc ABAACABAADABAACABAA, et ainsi de suite, alors, pour un nombre donné c'est vrai, mais comme B, C, D,... sont n'importe quoi et à priori de tailles de plus en plus grandes, ça ne donne pas une régularité.
II est peu probable que cette idée soit neuve, elle n'a d'intérêt que si on peut en déduire des conséquences utiles.

Comme tu es philosophe, je ne peux que te conseiller d'étudier sérieusement les maths, comme je conseille aux matheux d'étudier sérieusement la philo.

Cordialement.

[GaelC]

Je me qualifie de philosophe mais je n'ai lu aucun philosophe à proprement parlé, je n'ai développer ma philosophie que grâce à l'art et aux discussions avec des ce que j'appellerai des philosophes académiciens (qui ont lu et étudier les grands philosophes connus). Je me permets de me qualifier de philosophe car j'adore réfléchir au concept que l'on pourrait retrouver chez les grands philosophes (encore une fois même si je ne les ai pas lu, je discute souvent avec des gens qui eux les ont lu) car je peux ainsi me concentrer sur les mêmes questions qu'eux mais sans être influencer par les conclusions morales que l'on retrouve à chaque fois dans leurs ouvrages, donc est-ce que je suis vraiment philosophe ? Selon certains non, selon d'autres oui ^^

Le problème d'étudier sérieusement les maths c'est que je ne sais pas par quel point commencer pour apprendre tout ce que je ne sais pas, ni même vers quel branche (j'imagine qu'il y en a) je devrais me tourner en premier, mais si tu es prêt à me dire où je peux trouver les informations qui me manque alors je suis chaud.

Pour ce qui est de la suite de séquences, ce n'est pas tellement les 2 premières formes qui sont intéressantes mais la troisième qui est bien plus permissive.

récursivité fonctionnelle mixte :
Chaque bloc est constitué de la concaténation du bloc précédent, d’une fonction quelconque appliquée à celui-ci, et d’une séquence libre. Si l'on prends la formule qui suis :

Bₙ₊₁ = Bₙ + f(Bₙ) + xₙ

où :

xₙ est une séquence arbitraire à chaque itération,

f(Bₙ) peut être une permutation, un renversement, une compression, ou toute transformation déterministe.

Exemple :

B1 : 111
B2 : 111222456
B3 : 11122245622244481012789

Dans cette exemple nous pourrions voir aussi la multiplication par 2 autrement ou la dizaine de la multiplication de 5 par 2 serait reporté à l'unité du termes suivants qui ferait de même ce qui donnerait :

B3 : 1112224562224448031789

La récursivité juxtaposé pourrait exister sour plusieurs forme mais toujours régulière dans un nombre donné.

Cela pourrait être utile car si cette conjecture est vraie vu que la concaténation des nombres premiers est un nombre univers alors il existerait un nouveau moyen d'en découvrir d'autres. Cela impliquerait aussi que soit Pi n'est par sa nature nature irrationnel pas un réel nombre univers où que l'irrationalité d'un nombre n'est pas ce que nous en presumons aujourd'hui.

Le problème de cette conjecture c'est qu'elle est je crois invérifiable à chaque fois de par la nature infini des nombres univers et que la récursivité juxtaposé pourrait se trouver tellement loin en lui que nous n'aurons jamais de puissance de calcul suffisante pour trouver le point où la récursivité à lieu.


Il faudrait donc démontrer qu'elle est fausse mais je n'ai pas les outils intellectuel pour le faire. En attendant je vais essayer de voir si cette conjecture est applicable à la cancatenation des nombres premiers inférieur puis augmenter cette concaténation petit à petit en allant voir un ami informaticien qui pourra m'aider a automatiser tout ça.

Cordialement.

[gg0]

Pour étudier les maths, tu peux utiliser une méthode universitaire (travailler sur des bouquins de L1/L2/prépas, en revoyant les connaissances supposées connues dans des livres de lycée, de référence d'avant 2000), ou étudier les bases logiques et la théorie des ensembles. Pour la logique, Médiat pourra te conseiller; pour la théorie des ensembles, le livre de Dehornoy me semble un début possible; là encore, il faudra compléter avec les prérequis. C'est le problème des maths, discipline essentiellement cumulative, où on peut relier tous les sujets et où chacun aide à comprendre les autres.

Pour ta "récursivité juxtaposé" (récursivité juxtaposée ?), ça semble tellement général que ça risque de s'appliquer à quasiment tous les nombres. Entre autres, avec pour f la fonction vide (qui transforme tout Bn en un bloc vide), ça les donne déja tous.

Cordialement.

[GaelC]

Je regarderai ça quand j'aurai fini mes projets en cours, c'est quelque chose de trop dense pour que je m'y lance sans y dédié une grande part de mon temps libre au début de cet apprentissage.

Si j'ajoute la règle qui accepte toutes transformation de Bn tant que Bn différents de 0 ?

Si l'on oublie la 3eme version de la conjecture, comment pourrais-je prouver qu'elle est fausse ?

Si la conjecture est vrai pour tout les nombres alors est-ce que ça ne voudrait pas dire que les nombres irrationnel n'existe pas, ou qu'à manima qu'il faudrait repréciser la nature de l'irrationalité d'un nombre ?

Pour les fautes d'orthographe, de grammaire, d'accords, etc. de mes messages, je vous présente toutes mes excuses mais j'ai vraiment du mal a retenir et appliquer toutes les règles vu qu'elles ne font aucun sens, n'ont aucune logique, à part figer la langue et la rendre élitiste alors que le rôle de l'écrit est la transmission du savoir à un maximum de gens.

[gg0]

Pour l'instant, tu te contentes de spéculations non mathématiquement réfléchies, dommage. Mais si tu as autre chose à faire ...

Sinon, en orthographe, l'accord de l'adjectif en genre et en nombre est une des premières règles de grammaire qu'on apprend et qui n'a quasiment pas d'exception. C'est pourquoi je l'ai relevé. L'orthographe n'est pas élitiste, elle permet d'éviter les incompréhensions à l'écrit (à l'oral, on complète par de nouvelles phrases, on rectifie, ...), qui est fixé.

[GaelC]

Ce n'est pas un manque de volonté, c'est un réel manque de temps pour le moment, c'est pourquoi je poste ma conjecture ici, pour trouver l'aide de quelqu'un qui aurait les connaissances nécessaires pour l'explorer avec moi. J'essaie d'avoir la démarche la plus mathématique possible aux vues de mes capacités.

Pour le français, le fait que l'orthographe se soit retrouvé figé depuis 200 ou 300 ans (il me semble, je me trompe peut-être sur depuis combien de temp) pour ne plus correspondre à la prononciation rend l'apprentissage de l'écrit non naturelle, ne permettant qu'à un petit groupe de personnes ayant une grande capacité de rétention d'information non logique de l'écrire presque parfaitement (même les académiciens, sensé regrouper les plus érudits sur le sujet, font des fautes tellement c'est un bordel) et rendant son apprentissage difficile pour les non natifs francophone et compliqué pour des personnes ayant une bonne capacité d'apprentissage de système logique mais mauvais pour l'abstrait. CQFD d'un français élitiste.

[JPhM]

Bonjour.

Il me semble que d'un point de vue rigoureusement mathématique, votre conjecture est fausse.

En effet, la conjecture contient une contradiction logique majeure :
D'une part, un nombre univers (nombre normal) a par définition des chiffres qui apparaissent de manière statistiquement aléatoire avec des fréquences équiprobables.
D'autre part, les structures récursives proposées (Types I, II, III) sont déterministes et introduiraient des patterns prévisibles.
Or ces deux propriétés sont mutuellement exclusives. C'est un peu comme si je disais : "Puisque la bibliothèque de Babel contient tous les livres possibles, elle doit nécessairement être organisée par ordre alphabétique." Non, elle peut contenir tous les livres tout en étant complètement désorganisée.

Bien à vous.

[Médiat]

Rien dans la définition des nombres univers n'impose cela, cf Champernowne