Bonjour,
En m'amusant avec des suites récurrentes je suis tombé sur un truc rigolo qui m'amène à formuler la conjecture suivante :
Soitracine positive dans
du polynôme
défini sur
.
Soitracine positive dans
du polynôme
défini sur
.
Soitla fonction de
vers
qui projette tout élément
de
sur l'élément de
le plus proche.
pour toutde
:
si et seulement siet
, alors
est un nombre premier.
et
sont respectivement
et
et leurs puissances arrondies forment des suites récurrentes que j'utilise pour tester la conjecture avec cet algorithme ( en Python ):
Code:SuitePhi = [1,2] # Contient les derniers éléments de la suite des puissances arrondies de phi avec A(phi^0) = 1 et A(phi^1) = 2 SuitePsi = [0,0,0,0,1,2] # Contient les derniers éléments de la suite des puissances arrondies de psi avec A(psi^0) = 1 et A(psi^1) = 2 nCible = 500 Solutions = [] n = 1 while n <= nCible: #la suite des puissances arrondies de phi est une suite récurrente d'ordre 2 et de facteurs {1,1} donc S(n+1) = S(n) + S(n-1) SuitePhi.append( SuitePhi[-1]+SuitePhi[-2] ) SuitePhi.pop(0) #la suite des puissances arrondies de psi est une suite récurrente d'ordre 6 et de facteurs {1,1,1,0,0,1} donc S(n+1) = S(n) + S(n-1) + S(n-2) + S(n-5) SuitePsi.append( SuitePsi[-1]+SuitePsi[-2]+SuitePsi[-3]+SuitePsi[-6]) SuitePsi.pop(0) n += 1 #des actions "d'accordage" sont nécessaires lors des premiers n pour mettre les suites sur les "bonnes tonalités" #Pour la suite de Phi il faut -1`à n = 3 #Pour la suite de Psi il faut -1 à n = 6 et +1 à n = 3 , 5, 10, 12, et 14. if n == 3 : SuitePhi[-1] += -1 SuitePsi[-1] += 1 elif n == 6 : SuitePsi[-1]+=-1 elif n in [ 5, 10, 12, 14 ]: SuitePsi[-1]+=1 #A partir de là, les derniers éléments des listes SuitePhi et SuitePsi sont respectivement A(phi^n) et A(psi^n), on regarde les modulos. if SuitePhi[-1]%n == 1 and SuitePsi[-1]%n == 2: Solutions.append( n )
En comparant ensuite la liste des solutions avec une liste générée par un crible classique, j'ai testé jusqu'à n = 5000000 et aucun contre-exemple n'est sorti jusque là.
il faudrait arranger l'algorithme pour tester vraiment loin parce qu'il est lent ( +1h30s pour tester jusque là ! ).
J'ai cherché sur internet si ce résultat était connu, je n'ai rien trouvé à part que ça a l'air d'être une variante du Petit théorème de Fermat avec deux "a" irrationnels particuliers qui se corrige mutuellement vis-à-vis des pseudo-premiers, comme si les 2 suites générées à partir d'eux étaient "intriqués" de manière à ne jamais "sortir de pseudo-premiers" simultanément quand on les "teste modulo n".
voilà ! Pour ceux parmi vous qui s"intéressent aux nombres premiers il y a peut-être quelque chose à creuser de ce côté.
Merci de votre attention.
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