Conjecture sur les nombres premiers

**anthony_unac** · 09/09/2011, 17h06

Bonjour,

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est premier si et seulement si
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont premiers.

NB : $\text{[math]}$ désignant la puissancielle de l'entier $\text{[math]}$

Cette dernière conjecture en date est certainement fausse mais il n'y a à l'heure actuelle aucun contre exemple qui puisse l'infirmer et pire encore, il se pourrait bien que nous ne soyons pas en mesure aujourd'hui de déterminer un tel contre exemple.

Le candidat le plus "petit" $\text{[math]}$ admet effectivement la condition "11, 13, 23 premiers" vraie mais ne permet pas de conclure sur la primalité ou non de l'entier $\text{[math]}$ qui fait littéralement exploser non seulement les calculateurs mais également les idées plus ou moins astucieuses mises en œuvres jusqu'à présent pour conclure sur une non primalité.

Cordialement
Anthony

invite4492c379 · 09/09/2011, 17h14

C'est quoi une puissancielle ?

**anthony_unac** · 09/09/2011, 17h26

Envoyé par photon57

C'est quoi une puissancielle ?

n?= n^(n-1)^(n-2)^(n-3)^...^1

invite4492c379 · 09/09/2011, 17h28

à part :

Puissanciel, -elle, adj., rare. Puisque ces unités [dialectiques] sont identiques, leur transposition ne saurait altérer la forme du groupe, ce qui n'aurait plus lieu, si elles étaient en raison équivalente, puissancielle ou progressive (Proudhon,Créat. ordre, 1843, p. 223).

et tes propres références je n'ai pas trouvé grand chose, en fait je n'ai pas cherché beaucoup. Tu as des références ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**anthony_unac** · 09/09/2011, 17h33

Aucune référence sur le sujet puisque cette notation n'existe pas dans la littérature mathématiques.

invite4492c379 · 09/09/2011, 17h41

Ah ... OK merci.

**martini_bird** · 09/09/2011, 17h45

Bonjour,

j'imagine que la conjecture a été vérifiée pour 5<n<11...

Je pense aussi que cette conjecture est largement fausse, mais ce problème récréatif pose des questions intéressantes (et fait écho par exemple à la fausse conjecture de Fermat).
En particulier, c'est un bon contre-exemple pour les mauvais didacticiens atteints de « conjecturite » !

Cordialement.

**anthony_unac** · 09/09/2011, 17h58

La roublardise dans cette affaire réside dans le fait que la puissancielle croit à vitesse grand V et du coup effectivement on peine à trouver un contre exemple.
Fermat et autres avaient utilisé le même processus en "testant" simplement les premières valeurs puis ne pouvant plus "tester" les suivantes (faute de mieux) pensaient avoir trouvé une égalité de toute beauté mais les contre exemples sont venus briser toute cette jolie romance. Le soucis c'est qu'ici il va falloir attendre longtemps avant de trouver un contre exemple

**anthony_unac** · 10/09/2011, 06h12

Envoyé par martini_bird

En particulier, c'est un bon contre-exemple pour les mauvais didacticiens atteints de « conjecturite » !

Cordialement.

Ou comment bâtir un "fake" dont personne ne peut prouver la fausseté. C'est plutôt amusant de construire de telle chose en mathématiques et de voir les gens se résignaient à dire (faute de pouvoir le prouver) c'est faux car ... ou encore je pense que c'est faux car ... et mon préféré, un argument heuristique permet de *voir* que cette conjecture ne tient pas la route

**anthony_unac** · 22/09/2011, 15h23

Envoyé par martini_bird

Bonjour,

j'imagine que la conjecture a été vérifiée pour 5<n<11...

Cordialement.

...pas vraiment et je vous renvoie à ce résumé pour comprendre l'avancement de l'affaire.

Ce lien pourrait peut être servir de référence à Photon57 au sens ou il y a eu pas mal de démonstrations autour de la puissancielle. Ces démos ont été réalisées par des gens beaucoup plus sérieux que moi

Cordialement
Anthony Canu

invite4492c379 · 22/09/2011, 15h31

Ohlà ... merci de l'aura que tu me prêtes mais je ne suis pas très bon en analyse numérique entière ...
En plus la puissancielle que tu as inventée me donne presque autant le tournis que les chaînes de Conway.

**anthony_unac** · 22/09/2011, 15h53

Oui je comprends, moi aussi la puissancielle me donne la gerbe mais rassure toi, c'est une notation bien en deça de celle de Conway

pièce jointe supprimée

invite4492c379 · 22/09/2011, 15h57

D'où le presque autant.

**anthony_unac** · 22/09/2011, 15h59

Envoyé par photon57

D'où le presque autant.

Excellent !

**Médiat** · 22/09/2011, 16h05

Pouvez-vous nous renseigner sur le copyright de votre document (s'il ne vous appartient pas, ou s'il n'est pas libre de droit, nous ne pouvons le valider).

Pour la modération.

**JPL** · 22/09/2011, 16h32

Le plus simple serait que anthony_unac donne le lien vers le document. Si quelqu'un non abonné à Pour la Science peut le voir alors ce serait la preuve qu'il est en accès libre. Mais même dans ce cas nous ne pouvons pas l'héberger sur le serveur car il n'appartient pas à l'auteur du message, mais à le revue.

**anthony_unac** · 22/09/2011, 17h12

Ce document a été rédige par Jean Paul Delahaye pour le magazine Pour la science

**anthony_unac** · 22/09/2011, 17h17

Ce document m appartient c est Jean Paul lui même qui me l a donne !

**JPL** · 22/09/2011, 17h30

Non il ne t'appartient pas. C'est une subtilité juridique. Il a pu te donner le PDF parce que la revue lui a donné comme auteur. Cela reste une transaction privée entre lui et toi. Par contre ici c'est public et nous n'avons pas le droit de le reproduire sans l'autorisation de Pour la Science.

Et pour preuve de ce que j'avance copie d'une partie de l'article sur le site de PLS :

Nom : PLS.PNG
Affichages : 105
Taille : 22,7 Ko

Nom : PLS.PNG
Affichages : 105
Taille : 22,7 Ko

**anthony_unac** · 22/09/2011, 17h37

bon bah tant pis alors supprimez mon lien Pour la petite histoire Jean Paul m avait donne ce pdf car il disait que la notation puissancielle lui rappelait d autres notations

**JPL** · 22/09/2011, 17h43

Mais peut-être peux-tu faire un résumé ?

Pour les abonnés à PLS c'est ici : http://www.pourlascience.fr/ewb_page...inez-21672.php

**anthony_unac** · 22/09/2011, 22h10

Envoyé par JPL

Mais peut-être peux-tu faire un résumé ?

Pour les abonnés à PLS c'est ici : http://www.pourlascience.fr/ewb_page...inez-21672.php

Non je ne vais pas paraphraser bêtement les propos de Jean Paul (je suis suffisamment bête comme ça même sans paraphraser), l'idée dans tout ça est qu'on peut classifier les entiers en plusieurs niveaux suivant leurs tailles.
Effectivement il peut être parfois difficile d'écrire un *grand* entier avec uniquement les symboles "+" "*" ou "^" ou même "!". Au delà de ce stade, il faut inventer une autre notation pour pouvoir écrire de tels entiers.
Conway fait parti de ces gens qui ont inventé une notation spécifique permettant d'écrire de tels *monstres*. Quant à la notation puissancielle elle se situe à un niveau bien en dessous de la notation de Conway.

invite4492c379 · 23/09/2011, 03h04

Hello,

Je vais peut-être dire une grosse bêtise mais bon, je me lance. Vous me pardonnerez si je me plante ou si j'utilise des notations plus «informatiques» que mathématiques.

Je vais prendre comme exemple le calcul de 809?[11] (809 est premier tout comme 809x2+1=1619)

Si on prend les puissances successives de 809 modulo 11 on obtient un cycle de longueur 10 :
$\text{[math]}$

Donc pour connaître la valeur de 809? modulo 11, il faut déterminer la valeur des puissances successives de 808 modulo 10. Rebelotte :
$\text{[math]}$

Le cycle est de longueur 4, on y va avec 807 :
$\text{[math]}$

Un cycle de longueur 2 facile, $\text{[math]}$ car 805?>0
On remonte :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Recommençons avec 810?
$\text{[math]}$

Cycle de longueur 10, continuons avec 809?
$\text{[math]}$

Un cycle de longueur 2, $\text{[math]}$ car 807?>0

On remonte :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Et du coup j'en déduis que

$\text{[math]}$

C'est bon ? Ça fait un contre exemple ? Ou me suis-je lamentablement planté ?

**anthony_unac** · 23/09/2011, 17h59

Envoyé par photon57

$\text{[math]}$

C'est bon ? Ça fait un contre exemple ? Ou me suis-je lamentablement planté ?

Bravo

car :

1/ Vous avez déterré *le* contre exemple (ou l'avez vous déniché?)

2/ Vous avez publié le résultat à 4h du matin (ce qui laisse imaginer l'état de fatigue)

3/ Vous avez présentez votre résultat avec beaucoup, beaucoup, beaucoup de soin (je n'ai jamais vu un contributeur ici être aussi propre dans sa façon de présenter les choses (on sent la maîtrise du langage TEX)

4/ Vous présentez tout cela alors que vous nous disiez que l'analyse numérique entière n'était pas vraiment votre tasse de thé.

Alors face à tout cela, je vous tire mon chapeau Monsieur !

Cordialement
Anthony CANU

**anthony_unac** · 23/09/2011, 18h22

Re,

Grâce au contre exemple de photon je renforce donc la conjecture en posant :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est premier si et seulement si
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont premiers et $\text{[math]}$ n'est pas divisible par 10.

NB : $\text{[math]}$ désignant la puissancielle de l'entier $\text{[math]}$

Cordialement
Anthony

**anthony_unac** · 23/09/2011, 19h02

Envoyé par anthony_unac

Re,

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est premier si et seulement si
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont premiers et $\text{[math]}$ n'est pas divisible par 10.

Partant de cette dernière conjecture, $\text{[math]}$ est un candidat sérieux pouvant prétendre à la primalité.
D'autre part la somme des puissancielles successives $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ colle parfaitement avec la dernière conjecture en date (de même pour le contre exemple de photon : $\text{[math]}$ ).

invite4492c379 · 23/09/2011, 19h12

Envoyé par anthony_unac

Bravo

car :

1/ Vous avez déterré *le* contre exemple (ou l'avez vous déniché?)

2/ Vous avez publié le résultat à 4h du matin (ce qui laisse imaginer l'état de fatigue)

3/ Vous avez présentez votre résultat avec beaucoup, beaucoup, beaucoup de soin (je n'ai jamais vu un contributeur ici être aussi propre dans sa façon de présenter les choses (on sent la maîtrise du langage TEX)

4/ Vous présentez tout cela alors que vous nous disiez que l'analyse numérique entière n'était pas vraiment votre tasse de thé.

Alors face à tout cela, je vous tire mon chapeau Monsieur !

Cordialement

Envoyé par anthony_unac

Anthony CANU

Hello,

En fait je vis en décalé à cause de mon travail donc les heures ne signifient pas grand chose. Quant au contre exemple je n'ai pas de mérite, j'ai juste programmé une recherche sur les candidats potentiels. Je ne suis pas sûr de moi quand il s'agit de faire ce genre d'acrobatie numérique, d'où ma prudence.

Envoyé par anthony_unac

Re,

Grâce au contre exemple de photon je renforce donc la conjecture en posant :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est premier si et seulement si
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont premiers et $\text{[math]}$ n'est pas divisible par 10.

NB : $\text{[math]}$ désignant la puissancielle de l'entier $\text{[math]}$

Cordialement
Anthony

Je crains que ce ne soit pas suffisant ... j'ai pris 809 et 11 car c'était l'exemple demandant le moins de recopiage, mais $\text{[math]}$

Si mon programme est correct la liste que je joins donnera quelques contre-exemples.

contrex.zip

**anthony_unac** · 23/09/2011, 19h28

Bon la je crois que je vais devenir fou tellement ça envoie du lourd

Je sors, ça m'apprendra à jouer avec les informaticiens.

**anthony_unac** · 23/09/2011, 21h33

Je pense avoir trouvé une faille dans la grande liste des contre exemples de photon : le terme $\text{[math]}$ est toujours divisible par $\text{[math]}$ d’où la rectification suivante de la conjecture :
****************************** **********
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est premier si et seulement si
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont premiers et $\text{[math]}$ n'est pas divisible par $\text{[math]}$ .

invite4492c379 · 23/09/2011, 22h16

Envoyé par anthony_unac

Je pense avoir trouvé une faille dans la grande liste des contre exemples de photon : le terme $\text{[math]}$ est toujours divisible par $\text{[math]}$ d’où la rectification suivante de la conjecture :
****************************** **********
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est premier si et seulement si
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont premiers et $\text{[math]}$ n'est pas divisible par $\text{[math]}$ .

Si n est premier alors $\text{[math]}$

Si on prend le cas n=6k-1, n+1=6k donc 3 divise n, donc n n'est pas de la forme 6k-1

Si on prend le cas n=6k+1 on a 2n+1=12k+3, donc 2n+1 n'est pas premier.

conclusion : aucun n ne convient.

Enfin je pense.

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