Conjecture autour des nombres premiers

[invite18cff193]

Soit p un nombre premier impair.
Il existe toujours au moins un nombre premier entre p! et p!+k (avec k variant de 1 à p^2).

Je donne l'exemple de p=7

p!=5040
p^2=49

Entre 5040 et 5089 il y a 5 nombres premiers.

Un contre-exemple?
Ou une démonstration (rejet ou confirmation)?

Merci pour tout commentaire.
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[anthony_unac]

Bonsoir

Audacieuse comme conjecture sachant que les nombres premiers se raréfient avec l'augmentation de . Dans un même temps, l'intervalle devient très "serré" avec l'augmentation de et à la limite pour très grand le terme devient négligeable devant et l'intervalle devient bien étroit la ou les nombres premiers eux deviennent bien rares.
Ce n'est qu'un raisonnement heuristique mais il devrait vous mettre sur le chemin de la prudence et/ou du questionnement.

Cordialement
Anthony

[invite18cff193]

Merci pour le commentaire.
En fait, je pars de 2 hypothèses :
- l'alternance des intervalles à forte densité des premiers et de ceux à forte densité des composites
- une certaine régularité de cette alternance.
Il pourrait exister une fonction f(n) telle qu'à sa droite il y ait une densité suffisante de nombres premiers pour que la conjecture tienne la route.
J'ai l'intuition que la fonction factorielle pourrait être cette fonction.
Jusqu'à présent, pas de contre-exemple même si la recherche du contre-exemple est difficile.
Les hypothèses peuvent aussi être fausses bien entendu.

[anthony_unac]

Bonjour,

S'il est vrai qu'en moyenne les nombres premiers ont tendance à se raréfier, il est également convenu qu'ils ont aussi tendance à se regrouper sous forme de "grappes" sur certains intervalles.
En revanche je n'ai pas le souvenir d'une lecture concernant le fait que la concentration de nombres premiers étaient régulière, je pense même que c'est plutôt fort irrégulier (chaotique).
Votre conjecture se heurte elle aussi à la difficulté de pouvoir l'infirmer à l'aide d'un contre exemple. Mais rassurez vous la factorielle est plutôt sympathique à manipuler en comparaison de la puissancielle qui elle devient rapidement infernale (cf cette conjecture)

Cordialement
Anthony

PS: Jusqu'où avez vous poussé les tests pour dénicher le contre exemple ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Bonjour,


l'argument que mentionne anthony_unac dans son premeir message ne s'applique aussi (voir plus bas) et d'après moi la conjecture est "probablement vrai", mais aussi probablement très difficile :

le point de vue densité :

la densité de nombre premier aux alentour de p! est de l'ordre de 1/log(p!) ce qui est équivalent à 1/(p.log(p))

du coup le nombre de nombre premier entre p! et p!+p² devrait être équivalent à p²/(p.log p) = p/log(p) qui tend vers l'infini... donc on peut s'attendre à ce que le résultat soit vrai...

j'ai aussi vérifier la conjecture numériquement jusqu'à p=103 et ca marche, et le nombre de nombres de nombres premier entre p! et p!+p² semble bien augmenter (très irrégulièrement et de façon non monotone bien sur) avec p...


Pour ce qui est d'une preuve en revanche, ca me semble très délicat... je pense que le point de vue de la densité est un bon angle d'attaque pour commencer, mais le problème c'est que le th des nombre premier nous donne juste des dévelopement de Pi(n), pas de Pi(n)-Pi(m) donc on ne peut rien en tirer... il existe des résultat sur le comportement de Pi(n+t)-Pi(n) à condition que n et t soient "raisonnable" mais j'ignore si de telle résultat couvre le cas qui nous intéresse (n=p!, t=p²). Si c'est le cas, il suffierait d'extraire les bornes explicites que donne très probablement ces résultats, voir qu'elle à partir de quel p elle garantisse que le résultat est vrai et tester pour tout le sp inférieur si c'est faisable...

tout ca pour dire qu'il nous faudrait l'aide d'un spécialiste de théorie analytique des nombres pour savoir si ce genre de pistes est valable, et je ne crois pas qu'il y en est sur ce forum ^^

[anthony_unac]

Après m'être replongé dans mes lectures, j'ai mis la main sur ce résultat prouvé de Powell datant de l'année 1984 :
L'écart entre deux nombre premiers consécutifs et est donné par l'inégalité :

cela revient à dire que :


Si l'on revient à présent à la conjecture qui énonce qu'il existe au moins un entier premier entre et
On peut déja rigoureusement enoncer qu'il existe un entier premier entre et reste encore à comparer le terme au terme ...

[invitec317278e]

on a ln(p!)<p²...

[anthony_unac]

on a ln(p!)<p²...

CQFD les amis

[anthony_unac]

Votre conjecture Point Rond est donc vraie mais c'est un résultat moins fort que celui de Powell qui lui même est moins fort que celui de H.Maier énonçant que :

[invite4ef352d8]

Salut !

anthony_unac : c'est le genre de résultats que j'espérais trouver... cela dit ils sont faux tel quel :

(3-2) n'est pas inférieur à ln(2), et 17-13 =4 n'est pas inférieur à ln(13) etc...

37-31 = 6 n'est pas inféiruer à ln(31) ~ 3,4
97-89 = 8 n'est pas inférieur à ln(89) ~ 4,4
223-211 =12 n'est pas inférieur à ln(211)~5,35

etc etc... peut-etre qu'il y a un "à partir d'un certain rang" ? avec ce rang à préciser qui manque...

[anthony_unac]

Vous avez raison KSilver, les résultats énonçés plus haut ne sont valables qu'à partir d'un certain rang.
Il est écrit : "[...] prouva que, pour une infinité d'entiers [...]"

[invite986312212]

"pour une infinité d'entiers" et "à partir d'un certain rang" c'est très différent.

[invite25cbd5d2]

A supprimer

[invite40bf5ac5]

Je ne parle ou écrire pas le français, désolé. (Je lis un peut le français.)

Votre conjecture Point Rond est donc vraie mais c'est un résultat moins fort que celui de Powell qui lui même est moins fort que celui de H.Maier énonçant que :

Citation, s'il vous plaît? Le résultat est faux: il contredit le Théorème des Nombres Premiers. En particulier, il implique

contrairement à ce théorème de Jacques Hadamard et de la Vallée Poussin.

Aussi, il contredit les papiers des Pierre Dusart (1998, 2010).

[anthony_unac]

"pour une infinité d'entiers" et "à partir d'un certain rang" c'est très différent.

Si cela est vrai à partir d'un certain rang alors cela est vrai pour une infinité d'entiers. Après il y a peut être une phase transitoire mais au final l'écart se plie a la règle.

[anthony_unac]

Absolument pas l'un n'empêche pas l'autre. Je pense que vous confondez l'écart d_n entre deux nombres premier consécutifs et le n_ieme nombre premier pi(x)

[inviteea028771]

Si cela est vrai à partir d'un certain rang alors cela est vrai pour une infinité d'entiers.

Mais la réciproque est fausse.

La propriété "n est pair" est vraie pour une infinité d'entiers, mais il n'existe pas de rang N tel que cette propriété soit vraie pour tout n > N

Or c'est dans ce sens là que vous citez les choses (ces théorèmes sont vrais pour une infinité de n, pas pour tout n a partir d'un certain rang)
C'est donc bien deux choses très différentes

[anthony_unac]

Absolument pas l'un n'empêche pas l'autre. Je pense que vous confondez l'écart d_n entre deux nombres premier consécutifs et le n_ieme nombre premier pi(x)

Erratum
*******
[...] et le nombre de nombres premiers inférieur à x

[anthony_unac]

Mais la réciproque est fausse.

La propriété "n est pair" est vraie pour une infinité d'entiers, mais il n'existe pas de rang N tel que cette propriété soit vraie pour tout n > N

Or c'est dans ce sens là que vous citez les choses (ces théorèmes sont vrais pour une infinité de n, pas pour tout n a partir d'un certain rang)
C'est donc bien deux choses très différentes

Oui je comprends la nuance, nous dirons donc pour conclure que la conjecture du rond point est vraie pour une infinité d'entiers. D'ailleurs à ce sujet on ne l'entend pas beaucoup parler le rond point

[invite18cff193]

Le PointRond est parti s'informer, lire des articles reliés au sujet.
La conjecture est vraie selon certains, fausse selon d'autres.
J'essaie une toute autre piste en attendant.
Je pars de :

(P'^2)! + k (k=1 à k=p^2)
P' est le plus grand premier < à p^2
En principe, cette suite est entièrement composée de nombres non-premiers.
En pratique, il existe toujours un P'' < P' pour lequel la suite ne comprend aucun premier.

Exemple :

47! + k (k=1 à 49) tous non premiers

Il suffit de :

39! + k ( k=1 à 49) tous non premiers également

Y a-t-il une règle pour trouver rapidement le P''?

[invite40bf5ac5]

Absolument pas l'un n'empêche pas l'autre. Je pense que vous confondez l'écart d_n entre deux nombres premier consécutifs et le n_ieme nombre premier pi(x)

Non. et si on a ainisi contra le Théorème des Nombres Premiers.

En outre, Rankin 1938 a prouvé

pour une infinité de valeurs de n et des . ( est possible, à la suite de Pintz 1997.)

[anthony_unac]

Non.

Je ne comprends pas votre égalité et encore une fois j'attire votre attention sur le fait que est l'écart entre les deux nombres premiers consécutifs et . Cela n'à rien à voir avec qui est le nombre de nombres premiers inférieurs à x.

[invite986312212]

Oui je comprends la nuance, nous dirons donc pour conclure que la conjecture du rond point est vraie pour une infinité d'entiers.

hélas même cette conjecture affaiblie ne découle pas de l'inégalité que tu cites.

[invite40bf5ac5]

Je ne comprends pas votre égalité et encore une fois j'attire votre attention sur le fait que est l'écart entre les deux nombres premiers consécutifs et . Cela n'à rien à voir avec qui est le nombre de nombres premiers inférieurs à x.

. . .


En anglais cette est un « telescoping series », je ne sais pas comment vous parlez cette en français. « Série télescopique »?

[invite40bf5ac5]

Je ne comprends pas votre égalité et encore une fois j'attire votre attention sur le fait que est l'écart entre les deux nombres premiers consécutifs et . Cela n'à rien à voir avec qui est le nombre de nombres premiers inférieurs à x.

En outre, j'ai cité un théorème de Rankin... avez vous ce lis? Il est plus forte que ma allégation.

[invite40bf5ac5]

Votre conjecture Point Rond est donc vraie mais c'est un résultat moins fort que celui de Powell qui lui même est moins fort que celui de H.Maier énonçant que :

Souhaitez-vous me donner les sources de celles-ci, s'il vous plaît? Les deux théorèmes semble être faux (le «théorème» de Maier est manifestement erronée) mais je ne sais pas si ils sont mal compris, mal transcrits, ou mal dans le source.

Mon source est «La différence entre les nombres premiers consécutifs» de Rankin:

R. A. Rankin, "The difference between consecutive prime numbers", Proceedings of the London Mathematical Society 13 (1938), pp. 242-247.

[invite18cff193]

Un Monsieur demande des sources et des références personne ne répond.
La conjecture est toujours controversée, je le précise.

[invite25cbd5d2]

Un Monsieur demande des sources et des références personne ne répond.
La conjecture est toujours controversée, je le précise.

Je croyais que vous l'avez démontré (j'ai lu un cqfd quelque part ) je reposte alors ce que j'avais posté:

Je viens de réaliser un petit programme en 5min (très loin d’être optimal) pour tester la conjecture. Pour ceux qui seraient intéressés voici le code python:

 Cliquez pour afficher

prime(n) qui détermine si n est premier

def prime(n):
...     if n%2==0:
...             return 0
...     i=3
...     while i<=sqrt(n):
...             if n%i==0:
...                     return 0
...             i+=2
...     return 1

fonction factorielle

def prime(n):
...     if n%2==0:
...             return 0
...     i=3
...     from math import sqrt
...     while i<=sqrt(n):
...             if n%i==0:
...                     return 0
...             i+=2
...     return 1

La fonction conjecture qui vérifie la conjecture (original )

def conjecture(p):
...     i=factorielle(p)
...     j=i
...     while j<=i+p^2:
...             if prime(j):
...                     print "conjecture vrai pour n = ",p
...                     return 1
...             j+=1
...     return 0

et enfin la boucle principale

i=10
while i:
...     if not conjecture(i):
...             print i 
...             break
...     i+=1

Pour l'instant ( ça commence a devenir long):

conjecture vrai pour n = 10
conjecture vrai pour n = 11
conjecture vrai pour n = 12
conjecture vrai pour n = 13
conjecture vrai pour n = 14
conjecture vrai pour n = 15
conjecture vrai pour n = 16
conjecture vrai pour n = 17
conjecture vrai pour n = 18
conjecture vrai pour n = 19
conjecture vrai pour n = 20

[invite251213]

Je me permet quelques remarques concernant ton code.

Concernant ton code pour tester si un nombre est premier, il doit certainement exister des codes déjà tout faits et plus rapides que le tien

Le code que tu as mit pour la fonction factorielle n'est pas le bon, tu as fait une erreur de copie. J'espère juste que tu n'as pas codé la version récursive.

Concernant ta fonction conjecture, tu pourrais faire ceci :

def conjecture(p):
...     j = factorielle(p)
...     i = j + p^2 // met ce nombre en constante si possible
...     while j<=i :
...             if prime(j):
...                     print "conjecture vrai pour n = ",p
...                     return 1
...             j+=1
...     return 0

C'est surement une petite optimisation de rien du tout, mais vu que tu te plains d'un temps de calcul trop long... autant limiter la casse.

[invite25cbd5d2]

En effet j'ai mal copié et j'ai entendu pas fait la version récursive surtout pas en python

Je note la petite modification qui rend l'algorithme plus propre on va dire mais je ne crois pas qu'elle est une quelconque sur la vitesse.

Le mieux serait peut être de faire un programme maple ou quelque chose du genre parce que la je ne pense pas qu'on puisse arriver a quelque chose vu la lenteur du programme.