thm des nombres premiers

[invitef8bd6408]

Bonjour.

Je suis en train de travailler sur le théorème des nombres premiers et plus précisément, j'aimerais obtenir le résultat suivant :
où est une certaine constante positive et on a


Pour le moment, je suis arrivé (enfin presque ) à démontrer le résultat suivant :
où on a
. (où p est tjs supposé un nombre premiers...)

Il parait quand n'utilisant les sommations d'abels, on peut déduire la formule de grâce à la formule sur mais je n'arrive pas.

Je sais que la sommation d'Abel, c'est
où on a
.

Mais je tourne en rond, pas moyen de faire apparaitre et en même temps en utilisant ceci... Avez-vous une idée???

merci d'avance.
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[invite4ef352d8]

Salut !

Il faut commencer par ellimier les puissances de nombres premier, de la formule que tu as obtenue, ce qui si je me souviens bien n'est pas trop difficile. (essentiellement, tu majore la somme des les p^n n>2 par la somme sur les k^n pour k entier, qui va être plus petit que ton terme d'erreur, enfin à vérifier...)

après, note I(n) la fonction qui vaut log(n) si n est premier 0 sinon. et on ecrit que Pi(n) = somme des I(n)/log(n)

alors que le Phi'(n) = somme des I(n)

(où phi' désigne le phi modifié en enlevant les puissance de nombres premier...)

on fait notre transformation d'abel avec ca, sachant qu'on veut faire apparaitre la somme des 1/log(n) qui va etre en li(n) + c+o(1)

Sinon jette un coup d'Oeil dans la litterature : la nouvel edition du Zuily Quefelec, ou le bouquin d'arithmetique de Marc Hindry on des chapitre consacré au Théorème des nombres premier, je sais pas si il descende aussi finement dans le terme d'erreur, mais dans tous les cas la démarche est la même, même si il se contentait de prouver que Pi(n) est équivalent à n/log(n) la transformation d'abel et l'elimination des puissances de nombres premier est la même...

bon courage.

[invitef8bd6408]

j'avais déjà pensé à séparé les puissances des nombres premiers et le reste. Mais j'avais pas pensé à majoré le reste et à voir si c'est plus petit que mon erreur (je vais regarder ça) mais j'ai toujours des problèmes avec Abel. J'applique Abel mais ça marche pas. Il me semble, que je ne peux pas appliquer Abel à phi' car I(n) n'est pas dérivable et si je l'applique à , je bloque...

J'ai déjà regarder ds des livres et tous (qd ils le font) passent sur ce passage là... Surement facile mais ça m'échappe.... Mais pas encore regarder dans les bouquins que tu me donnes.

merci

[invite4ef352d8]

personellement je te conseillerai d'utiliser plutot la version "toute bête" de la sommation d'abel, avec juste des sommes et pas d'intégrale, ca t'évitera ce genre de problème !


petit rapel, une transformation d'abel, c'est juste la manipulation suivante :
on a
An =somme de i=0 à n de ai
Bn = somme de i=0 à n de bi

alors somme de k=1 à n de Bk.ak
= somme de k=1 à n de Bk.(Ak-A(k-1))
= somme de k=1 à n de Bk.Ak - somme de k=1 à n de Bk.A(k-1)
= somme de k=1 à n de Bk.Ak - somme de k=0 à n-1 de B(k+1).Ak
= -somme de k=1 à n-1 (b(k+1)Ak) + BnAn

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef8bd6408]

ok je vais regarder