Dénombrabilté des nombres premiers
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Dénombrabilté des nombres premiers



  1. #1
    invitea51befa8

    Dénombrabilté des nombres premiers


    ------

    Bonjour à tous,
    Voila je travaille un peu sur les nombres premiers et je me pose alors une question:
    Existe-t-il une bijection entre IN et l'ensemble des nombres premiers ( donc l'ensemble des nombres premiers est-il dénombrable ?)

    -----

  2. #2
    invitec317278e

    Re : Dénombrabilté des nombres premiers

    Salut,

    on peut définir une bijection par récurrence, en posant , puis, pour n quelconque, est le plus petit nombre premier strictement supérieur à .
    Puisque l'ensemble des nombres premiers est infini, existe bel et bien, donc l'application f est bien définie sur N.

  3. #3
    inviteea028771

    Re : Dénombrabilté des nombres premiers

    De toute façon l'ensemble des nombres premiers est inclus dans , donc il est forcement dénombrable (ou fini).

  4. #4
    invitea51befa8

    Re : Dénombrabilté des nombres premiers

    Merci beaucoup pour ta réponse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitea51befa8

    Re : Dénombrabilté des nombres premiers

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    De toute façon l'ensemble des nombres premiers est inclus dans , donc il est forcement dénombrable (ou fini).
    L'ensemble des nombres premiers est infini, tout comme IN.

  7. #6
    inviteea028771

    Re : Dénombrabilté des nombres premiers

    Bien-sur qu'il est infini, c'était pour faire remarquer que n'importe quelle partie d'un ensemble dénombrable est soit dénombrable soit finie

  8. #7
    invitea51befa8

    Re : Dénombrabilté des nombres premiers

    D'accords désolé j'avais mal compris ^^. Merci à vous deux

  9. #8
    invitedb2255b0

    Re : Dénombrabilté des nombres premiers

    Tiens, j'en profite pour poser ma p'tit question:

    Pour qu'un ensemble soit dénombrable, doit-il nécessairement être en bijection avec N, où une injection suffit-elle ?

  10. #9
    invitec7c23c92

    Re : Dénombrabilté des nombres premiers

    Si on sait qu'il est infini, alors une injection suffit.
    Les propriétés suivantes sont équivalentes :

    (1) E est en bijection avec N.
    (2) E est infini et s'injecte dans N.
    (3) E est infini et N se surjecte sur E.

  11. #10
    invitee8810844

    Re : Dénombrabilté des nombres premiers

    Citation Envoyé par Khaize Voir le message
    Bonjour à tous,
    Voila je travaille un peu sur les nombres premiers et je me pose alors une question:
    Existe-t-il une bijection entre IN et l'ensemble des nombres premiers ( donc l'ensemble des nombres premiers est-il dénombrable ?)
    l'ensemble des nombres premiers est dénombrable car il est inclue dans N qui est dénombrable

  12. #11
    invite986312212
    Invité

    Re : Dénombrabilté des nombres premiers

    Citation Envoyé par beloboy Voir le message
    l'ensemble des nombres premiers est dénombrable car il est inclue dans N qui est dénombrable
    si tu veux démontrer cela (qu'une partie infinie de N est dénombrable) tu es bien obligé de tenir un raisonnement dans l'esprit de celui de Thorin.

  13. #12
    invitec317278e

    Re : Dénombrabilté des nombres premiers

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    si tu veux démontrer cela (qu'une partie infinie de N est dénombrable) tu es bien obligé de tenir un raisonnement dans l'esprit de celui de Thorin.
    D'ailleurs, c'est exactement le même, en remplaçant le mot "premier" par "de la partie", et "2" par "plus petit élément de la partie"

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