fonction de deux variables, limite

[invite9995530f]

Bonjour,
J ai un peu de mal a faire un exercice sur des fonctions a deux variables notre prof n ayant pas pu assurer son dernier cours magistral il nous manque une leçon... Voici le dit exercice:

f(x,y) = sin(xy)/x , je dois trouver la limite quand x et y tendent vers 0.
Voila ce que j ai fait en cafouillant

Soit X=xy, limite X quand xy tendent tous deux vers 0 = 0
Sin(X)/x ~ X/x au voisinage de 0.
X/x=xy/x=y or y tend vers 0 donc lim de f(x,y) en 0 est 0.
Cela vous parait il juste ?

La deuxieme fonction est
f(x,y)=(|x|^a*y)/(x²+y^4) discuter suivant les valeurs de a sa limite quand x et y tendent vers 0.

Je ne sais pas trop comment procéder face a un tel exercice. Je pense que je peux faire 2 cas, celui ou x² est négligeable devant y puissance 4, puis le cas inverse. j aurais alors les limites de |x|^a/y^3 et y*|x|^(a-2) a étudier, mais meme la je ne vois pas trop comment faire.

Mon dernier probleme concerne cette fonction

arccos(racine de [(x²-y)(y²-x)])
Voici ce que j ai fait pour le moment:
arccos défini sur [-1;1] et racine sur [0,+infini[
Donc 0<(x²-y)/(y²-x)<1
ce qui équivaut a 0<x²-y<y²-x de plus on sait que |x²-y|<y²-x|.
Je ne sais pas continuer apres, si la aussi quelqu un connait une méthode, j apprécierais énormément.

(Ah oui ce sont des inégalités larges normalement mais pas simple au clavier)

Voila, bonne soirée a tous.
-----

[SchliesseB]

pour la premiere le résultat est juste mais expliqué bizarrement(y fixe? qui tend vers 0 après x?) il faut (je crois) faire ça un peu mieux (en écrivant y sin(X)/X par exemple et donc inférieur à y en valeur absolue)

pour la 2 ta disjonction des cas t'apporteras rien: et si aucun n'est négligeable devant l'autre?

néanmoins, tu peux faire y->0 puis x->0
x->0 puis y->0
y=x^2 et x->0

tu trouves différentes limites
si ta fonctions a une limites en 0, ces trois limites doivent être égales...
je sais pas si ça aboutit (surement pas d'ailleurs, je cherche encore)

tu cherches quoi pour la 3?

[invite9995530f]

Apres de nombreuses recherches je trouve pour la 2 qu il n y a pas de limite pour a appartenant a - l infini 1] pour a compris entre ]1;2[ je ne sais pas et pour a appartient a [2; + l infini[ la limite est zéro.
J ai fait tendre x vers 0 puis y vers 0 ou j ai encadré par des fonctions bref j ai bidouillé, mais entre 1 et 2 je ne vois vraiment pas.

Pour le arccos de machin je cherche l'ensemble de définition en fait, j'ai tenté de m acharner dessus mais je sèche complètement...

Et pour sin(xy)/x , j ai finalement dit
|sin(xy)/x|< |xy/x| donc <0 (inégalité large en vrai) et donc tendait vers 0. (ce qui correspond a ce que tu me suggères =D )

Merci a toi.

[SchliesseB]

je comprend pas ce que tu dis

tu n'as pas le droit de faire tendre l'un puis l'autre et en conclure ce que tu veux

reflechis à ma première piste, elle devrait t'enlever certains a


pour la 3:

il faut (et suffit)
0<(x²-y)(y²-x)<1 (inégalité large aussi)

après faut differencier les cas je pense (et c'est chiant....) je cherche

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Apres de nombreuses recherches je trouve pour la 2 qu il n y a pas de limite pour a appartenant a - l infini 1] pour a compris entre ]1;2[ je ne sais pas et pour a appartient a [2; + l infini[ la limite est zéro.
J ai fait tendre x vers 0 puis y vers 0 ou j ai encadré par des fonctions bref j ai bidouillé, mais entre 1 et 2 je ne vois vraiment pas.

j'ai utilisé l'hospital deux fois et j'arrive au même résultat que toi.
l'inf si a<1
0 si a>2
et indeterminé entre les deux.

pour la 3
est-ce
(x²-y)(y²-x) ou (x²-y)/(y²-x)
parceque tu as utilisé les deux écritures

[invite9995530f]

je redonne l'ennoncé de la fonction arccos, désolé pour l'erreur:

f(x,y)=arccos(racine[(x²-y)/(y²-x)])

Donc il y avait bien un divisé. Et le but est de trouver l ensemble de definition de la fonction

Et nous avons un litige avec un eleve de ma classe, pour lui sin(xy)/x n , n admet pas de limite en (0,0) car f(x,0)=0 et f(x,1)=sin(x)/x qui tend vers 1 en 0. Qu en pensez vous?

Bonne apres midi a tous.

[Scorp]

je redonne l'ennoncé de la fonction arccos, désolé pour l'erreur:

f(x,y)=arccos(racine[(x²-y)/(y²-x)])

Donc il y avait bien un divisé. Et le but est de trouver l ensemble de definition de la fonction

Et nous avons un litige avec un eleve de ma classe, pour lui sin(xy)/x n , n admet pas de limite en (0,0) car f(x,0)=0 et f(x,1)=sin(x)/x qui tend vers 1 en 0. Qu en pensez vous?

Bonne apres midi a tous.

Tu ne pas chercher la limite de f(x, y) en (0, 0) en passant par l'expression de ta fonction en f(x, y=1) !
Pour répondre au problème de limite/continuité pour une fonction de plusieurs variables, il faut que tu fasses tendre x et y vers leur valeurs (ici 0 et 0) par tous les chemins possibles (c'est souvent là qu'est la difficulté)

[ansset]

Et nous avons un litige avec un eleve de ma classe, pour lui sin(xy)/x n , n admet pas de limite en (0,0) car f(x,0)=0 et f(x,1)=sin(x)/x qui tend vers 1 en 0. Qu en pensez vous?

Bonne apres midi a tous.

Scorp a raison.
y=1 n'a aucun sens puisque y tend vers 0
ta limite est bonne pour le sin(xy)/x

pour la 3 ème, il faut faire ( je crois ) plusieurs hypothèses sur les signes de x et y et des différences
et après des simplifications comme x²-y² = (x-y)*(x+y)
j'ai juste commencé à regarder.

[ansset]

bon, je n'ai pas attaqué le cas y<0

mais si :
0<y<1 alors
domaine
-1-y <x< -sqrt(y)
ou
y<x<sqrt(y)

si y>1
domaine
-1-y<x<-sqrt(y)
ou
sqrt(y)<x<y

[God's Breath]

Bonjour,

Pour , il suffit de considérer et .

[ansset]

sur cette question, j'avais compris qu'on lui demandait de definir l'espace de définition de la fonction, pas la limite !

[God's Breath]

J'ai réagi au titre de la question...

La fonction est définie si et seulement si , soit en discutant suivant le signe de :
ou

Le premier système est équivalent à et conduit à un régionnement du plan par la parabole d'équation et les droites d'équations et .
Le second système conduit à une discussion analogue.