Idée à formuler sur les nombres premiers

[invite6b1a864b]

Voilà, je suis un novice en mathématique, mais ça m'interesse quand même.. alors voilà, j'ai une idée particuliére qui me vient de l'informatique, pouvez vous me dire, si c'est interessant ??

Quand on représente, dans un tableau, les valeurs de X * Y : on a un tableau avec des valeurs qui monte vite.. si on applique un modulo, on a une représentation qui devient chaotique (ça forme comme des carreaux)

Cependant, si on prend la fonction "nombre de diviseur de n"..
appelons la d(n)

[il s'agit du nombre total de division, et non du nombre de diviseur différent..
exemple :
8 = 2*2*2
donc d(8)=3 ]

d(n)=1 <=> n est premier

et qu'on représente d(x*y)., on voit apparaitre une propriété toute naturelle, et pourtant bien visible :
d(x*y)=d(x)+d(y)

Notre représentation chaotique devient la somme des deux représentations d(x) et d(y).

Ma question est la suivante : existe t-il d'autres fonctions f entières tel que f(x*y)=f(x)+f(y), et si non, quelle rapport il y a t-il entre cette fonction et l'équivalent réél, le logarithme ?
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[invite6b1a864b]

Plus j'y pense, plus cette fonction me semble importante : est elle connu ?
En effet
En admettant que tout nombre entier x est un produit de puissance u(n) du n'iéme nombre entier , on peut associé à u(n) un coefficient et faire une somme, pour avoir une fonction qui respecte :

x= produit (P(n)^u(n))
d(x)= Somme(u(n)*c(n))


d(x*y)=d(x)+d(y)

La fonction dont je parle est celle ou tous les coefficients c(n) valent 1

[contrairement à la fonction "nombre de diviseur" qui elle se content de compter les u(n)>0]

l'estimation de d(x) en utilisant cette propriété pourrait peut être fournir un moyen de trouver si x est premier

[invite986312212]

Cependant, si on prend la fonction "nombre de diviseur de n"..
appelons la d(n)

[il s'agit du nombre total de division, et non du nombre de diviseur différent..
exemple :
8 = 2*2*2
donc d(8)=3 ]

je ne comprends pas très bien comment tu calcules ta fonction d

ce n'est pas le nombre de diviseurs différents, car 8 a 4 diviseurs différents (1,2,4,8)
ce n'est pas le nombre de diviseurs "en comptant la multiplicité" car 2 compte pour 3, mais 4 compte pour 3 aussi (?) et 8 pour 1 mais 1 pour...

[invite6b1a864b]

je ne comprends pas très bien comment tu calcules ta fonction d

ce n'est pas le nombre de diviseurs différents, car 8 a 4 diviseurs différents (1,2,4,8)
ce n'est pas le nombre de diviseurs "en comptant la multiplicité" car 2 compte pour 3, mais 4 compte pour 3 aussi (?) et 8 pour 1 mais 1 pour...

c'est le nombre de facteur différent de 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1a864b]

c'est le nombre de facteur différent de 1

c'est la suite http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001222

[invite6b1a864b]

c'est le nombre de facteur différent de 1

c'est la suite grand oméga

Il me vient une idée assez farfelue, mais qui pourrait être util !


Il faudrait étendra la fonction au nombre rationnel positif :
Par exemple

d(2^n)= n
donc
d(0,5) =-1

plus généralement
d(1/n)=-1

d(1/k)=-d(k)

d(x/k)=d(x)-d(k)

[invite6b1a864b]

c'est le nombre de facteur différent de 1

et il ne reste plus qu'à l'étendre aux rééls irrationnels.. (des valeurs rééls ?? )

n*d(x)= d(x^n)

0,5*d(2)= d(racine(2)) = 0.5

d(x^y)=y*d(x)

[Médiat]

d(x*y)=d(x)+d(y)

c'est le nombre de facteur différent de 1

Il me semble que :
d(8) = 3
d(9) = 2
d(72) = 11

[invite6b1a864b]

Il me semble que :
d(8) = 3
d(9) = 2
d(72) = 11

72=2*2*2*3*3
d(72)=5

La preuve du principe tel que donnée dans la suite ..

C'est la suite "Grand Oméga"

avec P la suite des nombres premiers

soit u(n) tel que

x = produit (P(n)^u(n))
on a
d(x)=somme(u(n))

si on prend u pour x et v pour y

x = produit (P(n)^u(n))
y = produit (P(n)^v(n))
x* y = produit (P(n)^u(n))* produit (P(n)^v(n))
x* y = produit (P(n)^(u(n)+v(n)))

d(x*y)=somme(u(n)+v(n))= somme(u(n)) +somme(v(n))

[Médiat]

72=2*2*2*3*3
d(72)=5

Ce n'est donc pas le nombre de facteurs différents de 1, mais la somme des exposants des facteurs premiers.

[invite6b1a864b]

Ce n'est donc pas le nombre de facteurs différents de 1, mais la somme des exposants des facteurs premiers.

oui certe, je voulais dire "facteur" au sens large sans pour autant dire "facteurs différents"

[invite6b1a864b]

Elle est génial mon idée de l'étendre sur les rééls, non ?

Quelqu'un sait il combien il y a de fonction sur IR+* tel que

f(x*y)=f(x) + f(y)

En continu il y a le log

[invite986312212]

ta fonction risque d'être un peu moins régulière que le logarithme, c'est une fonction qui vaut 1 pour les entiers premiers, 2 pour les carrés d'entiers premiers, 3 pour les cubes, etc. déjà elle n'a pas de limite en +infini.

[invite6b1a864b]

ta fonction risque d'être un peu moins régulière que le logarithme, c'est une fonction qui vaut 1 pour les entiers premiers, 2 pour les carrés d'entiers premiers, 3 pour les cubes, etc. déjà elle n'a pas de limite en +infini.

oui elle est complétement discontinue, et si en plus on prend les rationnels on va avoir l'éventail infinie des valeurs entiéres entre 0 et 1 puisqu'il suffit de prendre a et b entier positif avec b>a pour que
d(a/b)=d(a) -d(b)

ça m'étonne qu'il y ai d'autre fonction que le logaritme qui ai la propriété de transformer les produits en sommes.

Ce qui m'interesse aussi, c'est qu'il y a une notion qui "ressemble" (vaguement) à la complexité du nombre : chaque nombre va avoir une valeur propre selon qu'il est exprimable en produit en tout cas pour les entiers. ça m'intéresse parce que par exemple, j'ai un peu prés compris que les logarithmes de x pouvait être interprété comme une mesure de la profondeur d'un graphes autosimilaires à x noeud..

si on construit un graph dans lequel on place chaque nombre selon ses diviseurs, on obtient un tel arbre parfaitement autosimilaire:
Puisque chaque nombre peut toujours être multiplié par un nombre premier pour en obtenir un unique autre, qu'il n'y a pas d'autre façon d'atteindre

par contre pour les rationnels c'est bizarre.. certains vont être à zéro
par exemple
d(3*5/7*13) = 0

ça me donne une de "nombre" tout aussi farfelu :
imaginons qu'on coupe en deux parti infinie p1 et p2 les nombres premiers, à quoi ressemble les nombres produit(p1)/produit(p2) ?

[invite6b1a864b]

oups
"ça me donne idée une de "nombre" tout aussi farfelu : "

[invite6b1a864b]

oui elle est complétement discontinue, et si en plus on prend les rationnels on va avoir l'éventail infinie des valeurs entiéres entre 0 et 1 puisqu'il suffit de prendre a et b entier positif avec b>a pour que
d(a/b)=d(a) -d(b)

ça m'étonne qu'il y ai d'autre fonction que le logaritme qui ai la propriété de transformer les produits en sommes.

Ce qui m'interesse aussi, c'est qu'il y a une notion qui "ressemble" (vaguement) à la complexité du nombre : chaque nombre va avoir une valeur propre selon qu'il est exprimable en produit en tout cas pour les entiers. ça m'intéresse parce que par exemple, j'ai un peu prés compris que les logarithmes de x pouvait être interprété comme une mesure de la profondeur d'un graphes autosimilaires à x noeud..

si on construit un graph dans lequel on place chaque nombre selon ses diviseurs, on obtient un tel arbre parfaitement autosimilaire:
Puisque chaque nombre peut toujours être multiplié par un nombre premier pour en obtenir un unique autre, qu'il n'y a pas d'autre façon d'atteindre

par contre pour les rationnels c'est bizarre.. certains vont être à zéro
par exemple
d(3*5/7*13) = 0

ça me donne une de "nombre" tout aussi farfelu :
imaginons qu'on coupe en deux parti infinie p1 et p2 les nombres premiers, à quoi ressemble les nombres produit(p1)/produit(p2) ?

Le principe de l'arbre auto similaire

Imaginons qu'on parte de 1
On prend chaque nombre premier et on en fait une branche
Si on prend chaque branche et qu'on fait une nouvelle branche en prennant le produit du nombre, avec un autre nombre premier, on obtient pour chaque branche un nouvelle arbre, avec néamoins les permutations..

Les permutations qui se mesure en 1/!n, pour la brance de profondeur n..

une hypothétique intuition me dit que la symétrie entre une branche et son parent, et la diminuation des permutations, à un rapport avec le dévelloppement de Euler



Je m'explique : imaginons qu'on fasse un arbre ou chaque branche à 2 noeuds.
On a une profondeur qui vaut 2^n. La bien-sur, on a un arbre étendu. Mais le rapport entre le nombre de branche et les profondeur, même infinie, devient définit par le "taux" de chemin différent qui diminue le nombre de branche..d'où mon idée

[invite6b1a864b]

L'intêret de mon histoire de branche autosimilaire, c'est que la fonction d correspond au changement de niveau du chemin en partant de 1 pour arriver à x : on multiplie par un premier : on passe au niveau supérieur. On divise par un premier, on descend d'un niveau. On comprend donc pourquoi 2/3 à le niveau 0, puisque si on est sur un arbre véritablement autosimilaire, alors on se retrouve sur une branche frére de 1.(Il suffit de décaler le graphe de 1 vers 2 ou vers 3, pour se trouver sur 3 ou 2)

[invite6b1a864b]

J'ai l'intuition que les nombres premiers incarne l'idée d'autosimilarité par la multiplication..
L'idée serait que la fonction, si on faisait une "moyenne" serait autosimilaire en fonction de l'échelle.
c'est assez logique :

soit y un réél

f(x*y) = f(x) + f(y)
donc f est autosimilaire par une homotéthie par y puisque y devient une constante..
Le sujet interessant serait qu'on détermine précisément la structure invariable par homothétie..