Nombres premiers inutiles pour la conjecture de GoldBach

**acx01b** · 08/04/2014, 12h06

Bonjour,

La conjecture de Goldbach dit que tout nombre pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers.

La question que je me pose est de savoir si certains nombres premiers peuvent être interdits ?

J'ai trouvé que jusqu'à 61,000,000 on n'avait pas besoin de ces nombres premiers :
12071,13367,13669,17791,21019, 27479,27701,30011,34141,34939, 35449,39461

On pourrait en avoir probablement bien d'autres plus grands, mais ce sont les plus petits que j'ai trouvés avec mon algorithme.

Code:

Algorithme : si un nombre pair ne s'écrit pas comme la somme de deux nombres premiers 'déjà utilisés', alors on ajoute ^(*)  le plus petit nombre premier possible à la liste des 'utilisés'. 

Ça donne dans l'ordre:

3 ajouté pour 6 = 3+3
5 ajouté pour 8 = 5+3
7 ajouté pour 12 = 7+5
11 ajouté pour 16 = 11+5
13 ajouté pour 20 = 13+7
17 ajouté pour 28 = 17+11
19 ajouté pour 32 = 19+13
23 ajouté pour 40 = 23+17
31 ajouté pour 44 = 31+13
29 ajouté pour 52 = 29+23
37 ajouté pour 56 = 37+19
41 ajouté pour 64 = 41+23
47 ajouté pour 76 = 47+29
43 ajouté pour 80 = 43+37
61 ajouté pour 92 = 61+31
53 ajouté pour 96 = 53+43
67 ajouté pour 110 = 67+43
59 ajouté pour 112 = 59+53
73 ajouté pour 116 = 73+43
71 ajouté pour 124 = 71+53
...

^(*) Je n'ai pas prévu le cas où il fallait ajouter deux nombres premiers à la liste d'un coup.

Finalement avec cet algorithme, il n'y en a pas tellement qui ne sont 'pas utilisés' (seulement 12 inférieurs à 40,000). Et quand N tend vers l'infini, la proportion de nombres premiers 'non utilisés' tend vers 0 ou au contraire tend vers 1 ?

**Médiat** · 08/04/2014, 12h11

Bonjour,

J'avoue ne pas comprendre 12071 + 3 = 12074, 12071 est donc bien utilisable, quelle est votre définition de "interdit" ?

**acx01b** · 08/04/2014, 12h17

Il est utilisable mais pas nécessaire ! Jusqu'à 61,000,000 on n'a pas besoin de 12071.
Alors pourquoi pas jusqu'à l'infini ? Peut-être que la conjecture de Goldbach reste vraie même si on interdit 12071 ?

À part ça, si la conjecture de Goldbach est vraie, l'idéal serait de trouver 'le plus petit' ensemble de nombre premier permettant d'écrire tous les nombres pairs comme la somme de deux de ces nombres (à définir 'le plus petit' puisqu'il s'agit d'un ensemble infini...) mais comme c'est hors de portée d'un ordinateur de comparer toutes les possibilités jusqu'à 61,000,000 , j'agrandis la liste des nombres premiers 'utilisés' uniquement quand c'est nécessaire, et j'y ajoute le plus petit nombre premier que je trouve permettant de continuer le parcourt des entiers pairs).

C'est pourquoi j'ajoute à la liste 31 (pour 44 = 31+13) avant 29 (pour 52 = 29+23)

**gg0** · 08/04/2014, 12h35

BonjourAcx01b.

l'histoire de l'arithmétique fourmille d'idées qui semblaient vraies pour les premiers entiers. Il est possible que la conjecture de Goldbach soit vraie et démontrée un jour. il est possible que tous les premiers ne soient pas nécessaires. mais examiner les nombres atteignables avec un ordinateur ne justifiera pas que 12071 soit non nécessaire.
As-tu un idée d'une technique qui permettrait d'aborder la question ?

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 08/04/2014, 12h40

Est-ce que votre définition serait :

Un nombre premier est nécessaire s'il apparaît dans la décomposition de Goldbach d'un nombre pair qui n'en possède qu'une seule.

Si c'est bien cela, j'ai peur que le problème que vous posez soit de la même difficulté que la conjecture de Goldbach, bon courage

.

**acx01b** · 08/04/2014, 13h06

@Mediat: non la définition de ma liste est globale, il faut la construire incrémentale-ment. c'est plutôt si la plus petite écriture de 2n est 2n = p+q, aucun 2m < 2n ne s'écrit p+r, mais au moins un 2k < 2n s'écrit 2k = q+r alors p est dans la liste.
Oui je pense que c'est de la même difficulté que la conjecture de Goldbach de savoir si 12071 est 'indispensable' ou non.

@gg0: Absolument pas, mais la seule chose que j'ai comprise en théorie des nombres c'est que d'un point de vu computationnel, tout se comporte comme si la distribution des nombres premiers était assimilable à une variable aléatoire simple : on peut considérer que la probabilité qu'un nombre entier tiré au hasard dans un intervalle $\text{[math]}$ soit premier vaut $\text{[math]}$ et donc considérer que quand $\text{[math]}$ , la probabilité que $\text{[math]}$ ne s'écrive pas comme $\text{[math]}$ vaut :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ensuite on somme à nouveau :

La probabilité que la conjecture de Goldbach soit fausse = somme sur N de 'la probabilité que la conjecture de Goldbach soit fausse pour N' < $\text{[math]}$

etc..

**Médiat** · 08/04/2014, 13h52

Envoyé par acx01b

c'est plutôt si la plus petite écriture de 2n est 2n = p+q, aucun 2m < 2n ne s'écrit p+r, mais au moins un 2k < 2n s'écrit 2k = q+r alors p est dans la liste.

Qu'appelez-vous "la plus petite écriture de 2n" ? Celle dont le plus petit nombre est le plus petit ou celle dont le plus grand nombre est le plus petit (avec la moyenne, ça ne marche pas

).

6 = 3 + 3, ne vérifie pas votre définition, alors que 3 et dans votre liste.

En imposant un choix de la décomposition (la plus petite, par exemple), j'ai peur que vous attribuiez un statut particulier à certains nombres de façon "artificielle".

**gg0** · 08/04/2014, 14h07

mais la seule chose que j'ai comprise en théorie des nombres c'est que d'un point de vu computationnel, tout se comporte comme si la distribution des nombres premiers était assimilable à une variable aléatoire simple ...

Je ne vois pas le rapport avec une procédure qui privilégie systématiquement les nombres premiers les plus petits. D'autant que "se comporte comme" ne permet pas d'appliquer les règles habituelles de probabilités, en particulier la sigma-additivité.

J'ai l'impression que, comme ça se produit souvent avec les conjectures arithmétiques simples à exposer mais à preuve difficile, tu pars dans des exposés heuristiques qui ne constituent pas des preuves.

Cordialement.

NB : J'espère que tu as compris d'autres choses en théorie des nombres. Y compris en théorie analytique des nombres où il y a de nombreuses choses plus simples.

**acx01b** · 08/04/2014, 14h15

Supposons que la conjecture de Goldbach soit vraie. Alors :

ou bien tous les nombres premiers sont indispensables (pour tout p, il existe un entier pair 2N qui s'écrit uniquement 2N = p + q et pas autrement).
ou bien il existe deux sortes de nombres premiers :
- ceux qui sont indispensables
- ceux qui ne le sont pas. p n'est pas indispensable si on arrive à écrire tous les entiers pairs sans jamais utiliser p.

Mon algorithme permet juste de trouver des nombres premiers qui sont 'probablement' de tels nombres premiers 'facultatifs'.

À nouveau, ceux qui sont dans ma liste sont ceux que je trouve avec mon algorithme qui est le plus simple qu'on puisse imaginer : une liste des 'premiers utilisés', une liste des premiers 'non utilisés', on parcourt les entiers pairs et on déplace les non utilisés vers la liste des utilisés quand c'est nécessaire, les listes sont triées et parcourues dans l'ordre bien sûr.

Envoyé par Médiat

En imposant un choix de la décomposition (la plus petite, par exemple), j'ai peur que vous attribuiez un statut particulier à certains nombres de façon "artificielle".

tout à fait d'accord !

L'algorithme permet juste de trouver 'des nombres premiers qui probablement, si on exclue l'un d'eux, ou peut-être même plusieurs, ne changent pas le résultat de la conjecture de Goldbach'.

Je pourrais proposer ma suite sur https://oeis.org/

?

**Amanuensis** · 08/04/2014, 14h32

Envoyé par acx01b

[LIST][*]ou bien tous les nombres premiers sont indispensables (pour tout p, il existe un entier pair 2N qui s'écrit uniquement 2N = p + q et pas autrement).

??? Contradiction, il me semble, avec

Envoyé par acx01b

@Mediat: non la définition de ma liste est globale

la définition m'apparaissant la même que celle proposée message #5.

À moins qu'il y ait une définition pour "nécessaire" et une autre pour "indispensable"?

**Médiat** · 08/04/2014, 14h43

Envoyé par acx01b

Je pourrais proposer ma suite sur https://oeis.org/

?

Ou pour un test d'intelligence :

Quel est le nombre manquant dans la suite : 12071, 13367, 13669, ?, 21019

azizovsky · 08/04/2014, 16h46

Salut , j'ai essayé de comprendre et j'ai tombé sur ce resultat :

pour tous $\text{[math]}$ impaire avec $\text{[math]}$ telque $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des nombres premiers ??

azizovsky · 08/04/2014, 16h56

Envoyé par azizovsky

Salut , j'ai essayé de comprendre et j'ai tombé sur ce resultat :

pour tous $\text{[math]}$ impaire avec $\text{[math]}$ telque $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des nombres premiers ??

ET SI $\text{[math]}$ est paire $\text{[math]}$ telque $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des nombres permiers ??

azizovsky · 08/04/2014, 17h04

Envoyé par azizovsky

ET SI $\text{[math]}$ est paire $\text{[math]}$ telque $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des nombres permiers ??

dans ce cas $\text{[math]}$

azizovsky · 08/04/2014, 17h15

Salut , je crois ,si j'arrive à démonter ce qui précède ,c'est facile de démonter la conjecture de GoldBach .

**acx01b** · 08/04/2014, 17h28

Envoyé par azizovsky

Salut , j'ai essayé de comprendre et j'ai tombé sur ce resultat :

pour tous $\text{[math]}$ impaire avec $\text{[math]}$ telque $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des nombres premiers ??

ça s'appelle comment cette conjecture ?

j'ai testé jusqu'à 500000 et elle est vérifiée

mais non c'est équivalent à Goldbach suis-je bête

azizovsky · 08/04/2014, 17h40

Envoyé par acx01b

ça s'appelle comment cette conjecture ?

j'ai testé jusqu'à 500000 et elle est vérifiée

mais non c'est équivalent à Goldbach suis-je bête

c'est la mienne et la tienne,

oui ,il faut pas oublier Médiat

quand je prend mon bic , c'est la cata....

azizovsky · 08/04/2014, 21h26

Bonsoir , j'essaye de ..... , et j'ai touvé que je doit passe par ceci :
$\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ nombres premièrs telque : $\text{[math]}$ ??? , ça marche pour 2,3,4,5 ...., je ne sais pas pour les grands nombres

azizovsky · 08/04/2014, 22h06

Envoyé par azizovsky

Bonsoir , j'essaye de ..... , et j'ai touvé que je doit passe par ceci :
$\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ nombres premièrs telque : $\text{[math]}$ ??? , ça marche pour 2,3,4,5 ...., je ne sais pas pour les grands nombres

ou bien plus simple :
$\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ nombre premièr : $\text{[math]}$ avant de s'occuper des symétries .

azizovsky · 08/04/2014, 23h45

Salut ,en multipliant les deux nombres premiers pour $\text{[math]}$ on'a:
$\text{[math]}$ ce qui donne la décomposition en facteurs premiers ou
$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ .

azizovsky · 08/04/2014, 23h54

Envoyé par azizovsky

Salut ,en multipliant les deux nombres premiers pour $\text{[math]}$ on'a:
$\text{[math]}$ ce qui donne la décomposition en facteurs premiers ou
$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ .

désolé , $\text{[math]}$

azizovsky · 09/04/2014, 08h53

Bonjour , les nombres premiers symétrique ou 'd'orés' $\text{[math]}$ par rapport à $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ car ,ils ont la structure $\text{[math]}$ .

**acx01b** · 09/04/2014, 10h08

je n'ai pas bien compris certain de tes messages !

ce que j'en comprends, librement inspiré par ce que tu as écrit :
pour un nombre pair $\text{[math]}$
au lieu de rechercher deux nombres premiers $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$
on peut rechercher un entier $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ est le produit de deux nombres premiers

en effet si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$
et réciproquement, si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

**acx01b** · 09/04/2014, 10h49

Je crois qu'on peut en déduire une façon d'exprimer la conjecture de Goldbach de manière analytique avec des séries de Dirichlet :

Soit la série $\text{[math]}$
Comme toutes les séries de Dirichlet c'est aussi la transformée de Laplace d'une distribution somme de Diracs :

$\text{[math]}$

On la met au carré : $\text{[math]}$

comme dit précédemment, pour un nombre entier pair $\text{[math]}$ , s'il existe un entier $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ vérifie la conjecture de Goldbach.

Soit la fonction $\text{[math]}$
c'est la transformée de Laplace de $\text{[math]}$

on considère l'intégrale (*) :

$\text{[math]}$

c'est un produit scalaire entre deux transformées de Fourier/Laplace donc en repassant en temporel $\text{[math]}$ est aussi le produit scalaire entre les deux distributions sommes de Diracs décrites précédemment. Si parmi ces deux distributions, deux Diracs sont positionnés au même endroit alors $\text{[math]}$ sera non nulle.

Ainsi $\text{[math]}$ pour un certain $\text{[math]}$ implique que la conjecture de Goldbach est fausse.
Au contraire, $\text{[math]}$ implique que la conjecture de Goldbach est vraie.

(*) j'ai un doute, dans $\text{[math]}$ je ne suis pas sûr si il vaudrait mieux filtrer (par exemple avec une fenêtre de Hanning) l'une des deux distributions pour que ça marche 'mieux' et que ça devienne le produit scalaire entre une distribution somme de diracs et une fonction $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

azizovsky · 09/04/2014, 10h49

Envoyé par acx01b

je n'ai pas bien compris certain de tes messages !

ce que j'en comprends, librement inspiré par ce que tu as écrit :
pour un nombre pair $\text{[math]}$
au lieu de rechercher deux nombres premiers $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$
on peut rechercher un entier $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ est le produit de deux nombres premiers

en effet si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$
et réciproquement, si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Salut ,oui , et posé $\text{[math]}$ , plus le théorème de décomposition en facteurs premièrs , ce qui prouve que le couple $\text{[math]}$ existe , on peut même trouver la conditions sur $\text{[math]}$ on 'a (1): $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ on' a aussi la 'symétrie' $\text{[math]}$ ce qui donne
(2): $\text{[math]}$ (désolé ,j'arrive pas à me concenter le matin...)
le (1) dans (2) donne la condition sur k : $\text{[math]}$

invite179e6258 · 09/04/2014, 19h29

Je trouve la conjecture d'acx01b assez plausible : plus un nombre pair est grand et plus il y a de chances qu'il admette plus d'une décomposition en somme de deux nombres premiers, et donc si par exemple 12071 n'est pas nécessaire pour les nombres inférieurs à 61 millions, il y a "plutôt moins de chances" qu'il le soit pour un nombre plus grand. Ces "nombres d'acx01b" seraient selon cette heuristique (douteuse) en nombre fini.

azizovsky · 09/04/2014, 20h01

Salut , le démonstration dans l'autre sens :

$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ on'a :

$\text{[math]}$ on pose
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ càd
$\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

**obi76** · 09/04/2014, 21h47

(*) Je n'ai pas prévu le cas où il fallait ajouter deux nombres premiers à la liste d'un coup.

Je viens de faire un code où c'est prit en compte... ça ne m'a pas l'air viable votre truc, mais bon : réponse quand il aura fini de tourner (histoire d'une journée ou deux je pense).

EDIT : oui vous avez un problème. j'en suis à 2 500 000 et le 11 n'est toujours pas obligatoirement utilisé.
Quand vous dites : 11 ajouté pour 16 = 11+5, pourquoi l'ajoutez vous puisqu'on peut aussi écrire 16 = 3 + 13 ?
17 ajouté pour 28 = 17+11, pourquoi puisqu'on peut aussi écrire 28 = 23 + 5

Ou alors je n'ai rien compris à votre méthode...

azizovsky · 10/04/2014, 08h12

Envoyé par azizovsky

Salut ,oui , et posé $\text{[math]}$ , plus le théorème de décomposition en facteurs premièrs , ce qui prouve que le couple $\text{[math]}$ existe , on peut même trouver la conditions sur $\text{[math]}$ on 'a (1): $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ on' a aussi la 'symétrie' $\text{[math]}$ ce qui donne
(2): $\text{[math]}$ (désolé ,j'arrive pas à me concenter le matin...)
le (1) dans (2) donne la condition sur k : $\text{[math]}$

Bonjour ,j'ai oublié une autre condition importante sur k : $\text{[math]}$ ,ok , j'a du travail qui m'attend ,bonnne journée à tous .

invitec9c0a685 · 10/04/2014, 20h09

Envoyé par acx01b

Je pourrais proposer ma suite sur https://oeis.org/

?

Bonjour et merci de tout coeur pour l'info...
Il est génial votre site...
ça fait 20 ans que cherchais le nombre qui suivait cette serie:

2,3,4,6,7,15,22,....
et bien le nombre suivant est 60... par contre, maintenant j'aimerais avoir la suite...

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