Primitive de 1/1+cosx

[invite12e329b2]

Bonjour, j'aimerai savoir comment calculer cette integrale !
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[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous et qu'avez vous fait .

Cordialement

[gg0]

Bonjour.

Une primitive de 1/1 + cos(x) est x+sin(x).

Par contre pour 1/(1+cos(x)), diverses méthodes sont possibles :
* imaginer une fonction et la dériver (avec un peu de chance, la dérivée sera 1/(1+cos(x))
* changements de variables divers, ne serait-ce que le généraliste t=tan(x/2)
* écrire cos(x) en fonction de cos(x/2) et se ramener à la dérivée d'une tangente.

Personnellement, je préfère la dernière méthode.

Cordialement.

[invite12e329b2]

Je dois changer de variable avec quelle fonction ?

Il s'agit bien de la fonction 1 / (1 + cos x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c2548ec]

Bonsoir gg0 , je crois bien avoir rencontrer déjà cette question dans une autre discussion identique primitive de dx/(1+cos(x)) .

Cordialement

[invite12e329b2]

Je vais essayer à l'aide de la video.

[invite12e329b2]

Ca parait si compliqué ...

La seule solution est elle : -cot x + csc x + C ?

Je n'ai vu en cours que ch x , sh x , th x , et coth x .

[invite7c2548ec]

Bonsoir quentoush22 sinon y'a une autre méthode simple mais un peut longue sans utiliser les changement de variable cités encore sans utiliser la méthode cité dans la vidéo que je vais la diffuser prochainement dé que possible merci .

Cordialement

[gg0]

La méthode que je proposais est rapide et donne une primitive très simple ...

[invite12e329b2]

Je vais essayer de poser t= tan(x/2)

[invite12e329b2]

La méthode que je proposais est rapide et donne une primitive très simple ...

Je ne vois pas ce que ça donne, ou est le changement de variable ?

[invite7c2548ec]

Je ne vois pas ce que ça donne, ou est le changement de variable ?

Oui effectivement quentoush22 mais tu ne peut pas remplacez directement le changement de variable avant de faire quelque transformation de formule trigonométrique ?

Cordialement

[invite7c2548ec]

1)-Indication
2)-Indication maintenant à vous .

Cordialement

[invite12e329b2]

Est-ce que ça a un rapport avec les formules de Carnot ?

Le probleme est que si je pose u = tan (x/2) , ça me donne 1 / (1+cos(tan(x/2))) , ou est la simplification ?

[invite7c2548ec]

1)-Indication
2)-Indication maintenant à vous .

Cordialement

Bon vous prenez puits remplacer le 1 du numérateur encore le 1 celui du dénominateur par l'indication "2" ensuite le par l'indication "1" sachez encore que

vous verer une simplification aux niveaux dénominateur de , avant même de proceder aux changer la variable .

Cordialement

[gg0]

Je ne vois pas ce que ça donne, ou est le changement de variable ?

* écrire cos(x) en fonction de cos(x/2) et se ramener à la dérivée d'une tangente.

Personnellement, je préfère la dernière méthode.

Il n'y a pas de changement de variable, ou simplement t=x/2. on arrive au même résultat avec le changement de variable t=tan(x/2) dans l'expression de départ.

rappel : 1+cos(x)=1+cos(2.x/2)=1+2cos²(x/2)-1.

[gg0]

Topmath,

évite de donner des conseils compliqués pour une situation simple. l'intégrale se calcule en deux lignes !!

[invite7c2548ec]

Oups vous laissez ignorer le remplacement de du nombre 1 du numérateur par l'indication "2" c'est à dire par contenter vous de remplacer cette formule aux dénominateur seulement pardonner moi de cette erreur;

Cordialement

[gg0]

Ce que j'ai proposé, qui aboutit immédiatement à la dérivée d'une tangente n'a aucun rapport avec ce que tu proposes, Topmaths.

[invite7c2548ec]

Oui gg0 le mieux à faire est de remplacer directement et le résultat est immédiat.

Cordialement

[invite7c2548ec]

Le plus frappant dans ce genre de calcule de primitive c'est que si en a pas passer aux par avant par ce genre de calcule en aura jamais l'idée de ce types de changement de variable pour cette raison il est très conseiller de diversifier les éxos concernant le calcule intégrale .

Cordialement

[invite12e329b2]

Bonjour,

Alors, en appliquant les indications, je trouve 1/(1+cos x) = u'(1+tan²u) qui est la dérivée de tan(u).

avec u=x/2 et du=dx/2

Si je calcule un intégrale, je devrai faire attention aux bornes.

Est-ce correct ?

[invite12e329b2]

En tout cas, merci pour vos réponses.

Pour information, je fais justement des exercices sur les intégrales car on a pas appris ça en cours et en TD mais comme vous le dites, il faut pourtant diversifier les calculs d'intégrales si l'on veut pouvoir les calculer par soi-même.

[gg0]

Bonjour,

Alors, en appliquant les indications, je trouve 1/(1+cos x) = u'(1+tan²u) qui est la dérivée de tan(u).

avec u=x/2 et du=dx/2

Si je calcule un intégrale, je devrai faire attention aux bornes.

Est-ce correct ?

C'est tout à fait ça.

On trouve comme primitives les fonctions tan(x/2)+Cte.

S'il s'agit d'intégrales, il va d'abord falloir que l'intégrale existe : si les bornes sont a et b, pas de valeur entre a et b qui rend le dénominateur nul, donc de pi+k.pi pour k entier. on peut intégrer de 1à3, mais pas de 3 à 4 ni de -11 à 9. En dehors de ça, comme on a une primitive, le calcul de l'intégrale est immédiat : tan(b/2)-tan(a/2).

Bon apprentissage !

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :
J' aimerai bien profiter de cette discussion pour poser une question pour le calcul de cette intégrale indéfinie .
Voila imaginant un étudiant studieux qui veux calculer celle ci de plus il ignore ce changement de variable , peut on trouver cette intégrale sans passer par le changement de variable ? et merci d'avance .

Cordialement

[gg0]

Bonjour Topmaths.

On sait faire disparaître le 1+ devant un cos en passant à l'arc moitié (formule cos 2a = 2cos² a - 1). On obtient :

Et un lycéen de terminale qui a bien appris les dérivées peut reconnaître la dérivée d'une tangente et finir.

Cordialement.

[invite57a1e779]

un étudiant studieux

Il sait donc que le changement de variable est très utile pour calculer les primitives de fonctions trigonométriques.

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :
Un remerciement pour gg0 ainsi que God's Breath pour leur repenses .

Amicalement

[invite57a1e779]

un lycéen de terminale qui a bien appris les dérivées peut reconnaître la dérivée d'une tangente

Je crois que la fonction tangente n'est plus au programme du lycée.
Quelqu'un peut-il confirmer ?

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :

Je crois qu'il y'a aussi une différence entre cour sur "L 'équation de la tangente dans un triangle rectangle " et "La fonction tangente " à mon avis .

Cordialement