prim de (cosx)^n

[invite4ab3564c]

Je redoutais la conclusion d'Evariste_Galois et je remercie beaucoup Pénélope pour sa suggestion interéssante, utilisable pour le calcul sur base d'une valeur connue de n. J'aurais du mieux baliser le problème. J'avais besoin d'une expression généralisée de integr{ (cos x)^n } afin de généraliser l'expression donnant la surface d'une calotte d'une hypersphère de dimension n. Le paramètre décrivant la calotte est l'angle x qui sous-tend la calotte depuis le centre de l'hypersphère. Le volume d'une calotte hypersphérique de dim. n est connu. Par contre, le calcul de la surface semble plus difficile à généraliser.. bienvenue aux suggestions !
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[invitea3eb043e]

Si on écrit cos(x) comme (exp(jx) + exp(-jx))/2 et qu'on utilise la bonne vieille formule du binôme, on devrait s'en sortir.

[pallas]

Recherche sur google intégrales de Wallis. Par exemple sur http://mathsplp.creteil.iufm.fr/HT_W...7/anal0197.htm
A +

[invitea77054e9]

Comme le suggère Jeanpaul, l'égalité cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/2 est forte utile pour résoudre le problème.

(cos(x))^n=((exp(ix)+exp(-ix))/2)^n
On dévelope à l'aide de la formule du binome de newton.

Si je ne me trompe pas, (a+b)^n=Somme (0 à n) {C(n,k)*a^n*b^(n-k)}, où C(n,k) est le coefficient binomial, c(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)

Par linéarité de l'intégrale on doit trouver une somme de sinus avec des coeff binomiaux normalement.
Cependant je n'ai pas encore vu la dérivation et l'intégration dans le champ complexe, donc je ne veux pas trop m'avancer sur le résultat(je suppose que la dérivée de exp(ix) est égale à i*exp(ix).)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1c6e02b6]

oui, la derivee de exp(ix), c'est bien iexp(ix).

mais pas besoin : les coeff binomiaux sont prennent des valeurs "symetriques" ( trace le triangle de pascal..) et en les regroupant, on fait apparaitre des cos(kx), d'où integration de fonctions reelles.