on a : a^4 = b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3) où a et b appartiennent à Z.
Montrer que b divise a .
je sais ke b/a^4, mais de cela je narrive à conclure que b divise a ...
Si vous pouviez me donner un petit coup de main svp... c'est surement facile, mais quand on bloque...
Merci beaucoup
Bijour,
c'est juste une piste, mais peut etre que tu peux résussir à borner b, et si tu montre que |b|<|a| alors c'est bon
Dernière modification par Evil.Saien ; 17/11/2004 à 16h57.
Ca donnerait quoi que |b|<|a| ?
si b est un diviseur de a, tu peux écrire a = b*c avec c entier.
donc tu substitues a par b*c dans ton équation, et tu verras que tu obtiens une expression qui ne dépend plus que de c.
en fait tu auras alors un polynome de degré 4 en c.
comme tu sais que c est entier, tu peux utiliser la méthode d'Horner afin de trouver la racine entière de ce polynome, qui sera le c de a = b*c.
ainsi tu démontres que b est diviseur de a.
j'ai juste un petit problème... je ne connais la méthode d'Horner...
merci beaucoup...
Si b divise a^4, b divise aussi a, car a^4 est multiple de a, a et b étant entiers.
Mais comment sais-tu que b divise a^4 ? c'est plutôt a^4 qui divise b.
Et si tu écrivais plutôt :
1(a^4)-4(a^3)(b)-8(a^2)(b^2)+13(a)(b^3)+10(b^4) =0
mais quelle est donc l'astuce ?
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
a=2 , b=16Envoyé par shokin
b divise a^4 (=16)
b ne divise pas a
tu as inversé le raisonnement
Ah ! euh ! b ne divise pas 2 ?`
ou alors je n'ai pas compris ce que voulait dire "m divise n".
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
là ça devient du français :
"m divise n" = "m est un diviseur de n"
de là... tu devrais te rendre compte de certaines choses
Re : diviseurs specialite maths
ah ! d'accord !
j'avais compris la réciproque.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Et si tu posait a=bq+r tu as donc ,deux conditions à exloiter ,ton egalité et celle suivant laquelle a^4=mb avec entier,montre que r=0 .
Si on montre que |a|>|b| alors on sait que b divise a puisque b divise aussi a^4... En faisant la décomposition en facteur premier on s'en rend compte
perdu. a = 12 b = 9
a^4 = 2304 * b
pourtant 9 ne divise pas 12.
ok... je me mets a plat ventre afin d'implorer votre absolution
Bonjour
On a :
a^4 = b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3)
<=> a^4-b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3)=0
En réfléchissant bien on trouve :
<=> (a-5b)(a+2b)(a²-ab-b²)=0
a=5b ; a=-2b etc....
Cordialement Yalcin
Exactement,la reponse que j'allais te donner:a^4-b(4*a^3+8*a^2*b-13*a*b^2-10*b^3)=0 soit (a+2b)*(a-5b)*(a^2-ab-b^2)=0,ce qui induit a=-2b ou a=5b ou a^2-ab-b^2=0,cette derniere equation n'a pas de solution dans Z,car en effet ce polynome de deux variables p(a,b) vaut [a-(1/2-sqrt(5)/2)*b]*[a-(1/2+sqrt(5)/2)*b] donc,s'il est nul,irremédiablement,on a:a=(1/2-sqrt(5)/2)*b ou a=(1/2+sqrt(5)/2)*b,si b appartient à Z,alors a ne peut etre dans Z,donc,on ne peut avoir à la fois a et b dans Z et p(a,b)=0.L'equation p(a,b)=0 n'a donc pas ,de racine entiere ,alors,(E) equivaut à a=-2b ou a=5b soit b/a.
j'ai pas trouvé mieux.
la difficultée est de factoriser a^4 - b(P), qu'on peut considérer aussi bien comme un polynome en a que comme un polynome en b, de degré 4.
Comme la finalité du problème est d'arriver à a= bq...., il est logique de considérer l'expression comme un polynome en a.
De degré 4, à coefficients entiers, on le pose comme étant égal à
( a^2 + qba + tb^2 )(a^2 + uba + wb^2) et on arrive à un système par identification....fastidieux, sauf à voir avant que (-2b) est une racine évidente, pas si évidente que cela .
Factoriser ce polynome de deux variables n'est pas pour autant une difficulté,on doit
montrer que a=bq ,alors pourquoi ne pas le considerer dans la relation donnée,on trouve un polynome en q de dégrée 4 qu'on factorise comme (q+2)*(q-5)*(q^2-q-1) et on substitue a/b=q,on obtient le polynoe de départ à deux variables en multipliant par b^4.
heureusement que la méthode la plus facile (celle que tu dis) a déjà été expliquée au 4e post.
