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diviseurs specialite maths



  1. #1
    tanialentellais

    diviseurs specialite maths


    ------

    on a : a^4 = b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3) où a et b appartiennent à Z.

    Montrer que b divise a .
    je sais ke b/a^4, mais de cela je narrive à conclure que b divise a ...

    Si vous pouviez me donner un petit coup de main svp... c'est surement facile, mais quand on bloque...

    Merci beaucoup

    -----

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  3. #2
    Evil.Saien

    Re : diviseurs specialite maths

    Bijour,
    c'est juste une piste, mais peut etre que tu peux résussir à borner b, et si tu montre que |b|<|a| alors c'est bon
    Dernière modification par Evil.Saien ; 17/11/2004 à 16h57.

  4. #3
    Quinto

    Re : diviseurs specialite maths

    Ca donnerait quoi que |b|<|a| ?

  5. #4
    olle

    Re : diviseurs specialite maths

    si b est un diviseur de a, tu peux écrire a = b*c avec c entier.
    donc tu substitues a par b*c dans ton équation, et tu verras que tu obtiens une expression qui ne dépend plus que de c.

    en fait tu auras alors un polynome de degré 4 en c.
    comme tu sais que c est entier, tu peux utiliser la méthode d'Horner afin de trouver la racine entière de ce polynome, qui sera le c de a = b*c.

    ainsi tu démontres que b est diviseur de a.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    tanialentellais

    Re : diviseurs specialite maths

    j'ai juste un petit problème... je ne connais la méthode d'Horner...
    merci beaucoup...

  8. #6
    shokin

    Re : diviseurs specialite maths

    Si b divise a^4, b divise aussi a, car a^4 est multiple de a, a et b étant entiers.

    Mais comment sais-tu que b divise a^4 ? c'est plutôt a^4 qui divise b.

    Et si tu écrivais plutôt :

    1(a^4)-4(a^3)(b)-8(a^2)(b^2)+13(a)(b^3)+10(b^4) =0

    mais quelle est donc l'astuce ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  10. #7
    olle

    Re : diviseurs specialite maths

    Citation Envoyé par shokin
    Si b divise a^4, b divise aussi a, car a^4 est multiple de a, a et b étant entiers.
    a=2 , b=16

    b divise a^4 (=16)
    b ne divise pas a

    tu as inversé le raisonnement

  11. #8
    shokin

    Re : diviseurs specialite maths

    Ah ! euh ! b ne divise pas 2 ?`

    ou alors je n'ai pas compris ce que voulait dire "m divise n".

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  12. #9
    olle

    Re : diviseurs specialite maths

    là ça devient du français :
    "m divise n" = "m est un diviseur de n"
    de là... tu devrais te rendre compte de certaines choses

  13. #10
    shokin

    Talking Re : diviseurs specialite maths

    ah ! d'accord !

    j'avais compris la réciproque.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  14. #11
    ulrich richarovitch

    Re : diviseurs specialite maths

    Et si tu posait a=bq+r tu as donc ,deux conditions à exloiter ,ton egalité et celle suivant laquelle a^4=mb avec entier,montre que r=0 .

  15. #12
    Evil.Saien

    Re : diviseurs specialite maths

    Si on montre que |a|>|b| alors on sait que b divise a puisque b divise aussi a^4... En faisant la décomposition en facteur premier on s'en rend compte

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  17. #13
    Korgox

    Re : diviseurs specialite maths

    perdu. a = 12 b = 9

    a^4 = 2304 * b
    pourtant 9 ne divise pas 12.

  18. #14
    Evil.Saien

    Re : diviseurs specialite maths

    ok... je me mets a plat ventre afin d'implorer votre absolution

  19. #15
    Yalcin

    Re : diviseurs specialite maths

    Bonjour
    On a :
    a^4 = b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3)
    <=> a^4-b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3)=0
    En réfléchissant bien on trouve :
    <=> (a-5b)(a+2b)(a²-ab-b²)=0
    a=5b ; a=-2b etc....
    Cordialement Yalcin

  20. #16
    ulrich richarovitch

    Re : diviseurs specialite maths

    Exactement,la reponse que j'allais te donner:a^4-b(4*a^3+8*a^2*b-13*a*b^2-10*b^3)=0 soit (a+2b)*(a-5b)*(a^2-ab-b^2)=0,ce qui induit a=-2b ou a=5b ou a^2-ab-b^2=0,cette derniere equation n'a pas de solution dans Z,car en effet ce polynome de deux variables p(a,b) vaut [a-(1/2-sqrt(5)/2)*b]*[a-(1/2+sqrt(5)/2)*b] donc,s'il est nul,irremédiablement,on a:a=(1/2-sqrt(5)/2)*b ou a=(1/2+sqrt(5)/2)*b,si b appartient à Z,alors a ne peut etre dans Z,donc,on ne peut avoir à la fois a et b dans Z et p(a,b)=0.L'equation p(a,b)=0 n'a donc pas ,de racine entiere ,alors,(E) equivaut à a=-2b ou a=5b soit b/a.

  21. #17
    jcm

    Re : diviseurs specialite maths

    j'ai pas trouvé mieux.
    la difficultée est de factoriser a^4 - b(P), qu'on peut considérer aussi bien comme un polynome en a que comme un polynome en b, de degré 4.
    Comme la finalité du problème est d'arriver à a= bq...., il est logique de considérer l'expression comme un polynome en a.
    De degré 4, à coefficients entiers, on le pose comme étant égal à
    ( a^2 + qba + tb^2 )(a^2 + uba + wb^2) et on arrive à un système par identification....fastidieux, sauf à voir avant que (-2b) est une racine évidente, pas si évidente que cela .

  22. #18
    ulrich richarovitch

    Re : diviseurs specialite maths

    Factoriser ce polynome de deux variables n'est pas pour autant une difficulté,on doit
    montrer que a=bq ,alors pourquoi ne pas le considerer dans la relation donnée,on trouve un polynome en q de dégrée 4 qu'on factorise comme (q+2)*(q-5)*(q^2-q-1) et on substitue a/b=q,on obtient le polynoe de départ à deux variables en multipliant par b^4.

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  24. #19
    olle

    Re : diviseurs specialite maths

    heureusement que la méthode la plus facile (celle que tu dis) a déjà été expliquée au 4e post.

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