n désigne un entier naturel non premier tel que n=pq avec 1<p<n et 1<q<n
a)demontrer que 2^(n)-1 est divisible par 2^(p)-1
b)en deduire que 1<2^(p)-1<2^(n)-1 puis que 2^(n)-1 n'est pas premier
je n'arrive pas transformer l'écriture de n=pq pour obtenir le resutat... j'ai pas le déclique...
merci d'avance...
Regarde le polynôme x^n - 1 et demande-toi combien il a de racines sur le corps des complexes.
Ensuite regarde le polynôme x^p - 1 et même question.
Y a-t-il des racines communes sachant que n = p q ?
Enfin tu fais x = 2 (x=3 irait aussi)
alors oui pour l'éxplication mais je n'est pas encors fais les complexes... donc je ne sais pas comment faire...
je ne peu utilisé que le premier chapitre de spé qui sont divisibilité et congruence ainci que le chapitre sur les nombre premier...
Dsl si je rends la tâche plus difficile...
Merci
que vaut 2p [2p-1] ?
comment retrouver 2n en partant de 2p ?
Il existe un théorème général : Xm-am est divisible par (X-a),
Ici,
2n-1=2(pq)-1=(2p)q-1q est divisible par 2p-1
Simple, isn't it ?
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
C'est bien beau d'utiliser tout plein de théorème, encore faut il savoir faire un exercice avec les théorèmes qu'on a démontrés en classe et pas avec un théorème qui marche bien mais qu'on a jamais démontré :/
Envoyé par Hamb
Ta critique est justifiée, mais je ne sais pas trop jusqu'à quel point tu es allé dans ta classe. Démonstration :
SI on fait la division euclidienne de Xn-1 par X-1 (je prends le risque de penser que tu as étudié la division de deux polynomes ?), on trouve au résultat :
X(n-1)+X(n-2)+..1 en même temps que les restes successifs sont : X(n-1) -1, X(n-2) -1, etc jusqu'à X(n-n) -1 qui vaut 0 et alors la division est terminée.
Exemples : X3-1= (X-1) . (X2+X+1)
X4-1= (X-1) . (X3+X2+X+1)
En espérant t'avoir appris quelque chose d'utile pour la suite des opérations...
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Ce que je voulais dire c'est pas que ton théorème est faux, et c'était pas non plus un reproche, je veux juste dire qu'en l'occurence thomas ne l'a certainement pas vu en classe et qu'on attend surement de lui qu'il résolve le problème d'une autre manière.
Pas de souci, j'ai compris. Mais les problèmes de divisibilité de polynomes ne sont pas simples.
Il peut essayer de faire la division euclidienne directement de 2pq - 1 par 2p - 1. C'est ardu mais pas insurmontable, en constatant que les restes successifs sont : 2q.(p-1) -1, 2q.(p-2) -1 etc. jusqu'à arriver à 2q.(p-p) -1 qui vaut zéro, ce qui montre que la divisibilité.
Maintenant, il se peut que "ma" solution soit trop complexe, et j'aimerais avoir le retour sur ce qui sera donné par le professeur.
Cordialement,
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Bah en fait la méthode que je voulais amener par mes questions consistait à voir que 2p=1 [2p-1]
et donc que 2pq=1 [2p-1]
Du coup, 2pq=1 [2p-1]
2n-1=1-1=0 [2p-1]
Bingo ! Bien vu !
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
voila j'ai trouver un truc aussi :
on sait que 1+x+x^(2)+. . .+x^(n)=(x^(n+1)-1)/(x-1)
donc 1+x+x^(2)+. . .+x^(n-1)=(x^(n)-1)/(x-1)
on a n=pq don 2^(n)=2^(pq)=2^(p)^(q)
bon ok matenant posons x=2^(p)
et n=q
on a a l'arrivé : (2^(n)-1)/(2^(p)-1)
donc on a bien 2^(n)-1 qui est divisible par 2^(p)-1
merci a vous pour les solutions précédentes...
Ta méthode est bonne mais n'écris pas de fraction, garde uniquement des produits tant que tu n'a pas démontré la divisibilité.
