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C'est quoi une solution ?



  1. #1
    Gunboy

    Exclamation C'est quoi une solution ?


    ------

    Bonjour,
    cette question me vient à la tête :

    Si une solution réelle d'une équation quelconque (par exemple x^3+x^2+x+1=0 ) est l'intersection de la courbe de la fonction correspondante avec l'axe des abscisses, alors comment trouver graphiquement une solution complexe de l'équation ??
    En d'autre termes, quelle est la définition analytique ou graphique d'une solution d'une équation (je crois que ça a un rapport avec la dérivée mais je n'en sais rien)
    Merci.

    -----

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  3. #2
    .:Spip:.

    Re : C'est quoi une solution ?

    tu peux poser une fonction de deux variables

    tu remplaces x par a+ib
    tu as fonc f(x)=f(a,b) ....
    Soyez libre, utilisez Linux.

  4. #3
    Gunboy

    Re : C'est quoi une solution ?

    Merci, mais est-ce que tu peux m'expliquer d'avantage ? Est-ce qu'une solution est en relation avec la dérivée qui s'annule et change de signe ??

  5. #4
    programmer

    Re : C'est quoi une solution ?

    Bonjour,

    Attention la dérivée en un point de la courbe est simplement la pente de la tangente en ce point, la tangente étant la droite portée par le vecteur vitesse.

    f'(x0)=0 signifie que la tangente est horizontale en x=x0

    Soit f(x) = x² + 1

    Cette fonction ne s'annule jamais mais a une dérivée nulle en x=0. Normal c'est une parabole translatée d'une unité, elle a donc un minimum en x=0.

    Quant à une représentation graphique d'une racine d'une fonction d'une variable complexe, tu poses une question très pertinente ; l'idée du post précédent est la première qui vient à l'esprit mais une fonction complexe (à variable et valeurs complexes) ne peut pas être représentée dans l'espace habituel car on aurait besoin de 4 dimensions...
    Dernière modification par programmer ; 25/12/2006 à 16h20.

  6. #5
    martini_bird

    Re : C'est quoi une solution ?

    Salut,

    En d'autre termes, quelle est la définition analytique ou graphique d'une solution d'une équation (je crois que ça a un rapport avec la dérivée mais je n'en sais rien)
    Les solutions d'une équations f(x)=0 dans un ensemble X sont l'ensemble des éléments tels que f(x)=0.

    Pour qu'un nombre complexe z soit solution d'une équation f(z)=0 il faut et il suffit que les parties réelles et imaginaires de f(z) soient nulles : ceci permet éventuellement de se ramener à l'étude de deux fonctions réelles.

    En réalité, le corps des nombres complexes jouit de propriétés très confortables qui font que les zéros d'une large classe de fonctions (dite méromorphes) sont trahis par des techniques d'intégration notamment.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gunboy

    Re : C'est quoi une solution ?

    Citation Envoyé par programmer Voir le message
    Quant à une représentation graphique d'une racine d'une fonction d'une variable complexe, tu poses une question très pertinente ; l'idée du post précédent est la première qui vient à l'esprit mais une fonction complexe (à variable et valeurs complexes) ne peut pas être représentée dans l'espace habituel car on aurait besoin de 4 dimensions...
    Merci programmer, c'est exactement ça, ce que je voulais comprendre

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  10. #7
    martini_bird

    Re : C'est quoi une solution ?

    Erratum :
    ceci permet éventuellement de se ramener à l'étude de deux fonctions à valeurs réelles.
    Sinon il existe plusieurs moyens de visualiser une fonction complexe à valeurs complexes : en isolant parties réelles et imaginaires, en isolant module et phase... Voir les dessins sur mathworld.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  11. #8
    doryphore

    Re : C'est quoi une solution ?

    Citation Envoyé par Gunboy Voir le message
    Bonjour,
    cette question me vient à la tête :

    Si une solution réelle d'une équation quelconque (par exemple x^3+x^2+x+1=0 ) est l'intersection de la courbe de la fonction correspondante avec l'axe des abscisses, alors comment trouver graphiquement une solution complexe de l'équation ??
    En d'autre termes, quelle est la définition analytique ou graphique d'une solution d'une équation (je crois que ça a un rapport avec la dérivée mais je n'en sais rien)
    Merci.
    Attention tu confonds certains objets: la solution d'une équation d'inconnue x est un nombre tel que si tu remplaces x par ce nombre dans les expressions littérales de part et d'autre du signe =, alors l'égalité entre expressions numériques est vraie (les deux nombres définis par ces deux expressions numériques sont égales)

    L'intersection entre deux courbes est un point donc ça ne définit pas ce qu'est une solution.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  12. #9
    Gunboy

    Re : C'est quoi une solution ?

    Justement doryphore, je cherche ce que c'est qu'un zéro d'une fonction (solution de l'équation f(x) = 0) !

  13. #10
    doryphore

    Re : C'est quoi une solution ?

    Une solution d'une fonction peut être approchée analytiquement en utilisant des calculs de dérivées et un algorithme d'approximation. Mais en aucun cas, la dérivée n'intervient dans la définition d'un zéro d'une fonction.
    Quand, une fonction est représentable graphiquement, les zéros peuvent être identifiées à certains points de la courbe ou de la surface.
    Je rapelle que pour représenter le graphe d'une fonction de C dans C, il faudrait le plonger dans un espace de dimension 4, ce qui est impossible en utilisant nos 3 dimensions spatiales.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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