Question sur le programme en maths du lycée

[Gwyddon]

Bonjour à tous,

Dans cette discussion : http://forums.futura-sciences.com/thread128245.html

a été soulevé le problème suivant : comment démontrer en 1èreS le fait que la solution de l'équation fonctionnelle f(x-y)=f(x)-f(y) pour (x,y) réels et f continue est la classe des fonctions linéaires ?

En effet, la démo classique utilise à un moment donné la densité de Q dans R, ce qui n'est pas au programme de 1èreS ni même de TS

Est-ce que cette propriété existe dans le programme de 1èreS ou de TS, et auquel cas est admise sans démontration ?

J'aimerais donc avoir vos avis

Merci d'avance,

G.
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[invite0207283b]

Le problème est "faisable" s'il s'adresse à des 1ères, dans le sens où il résonneront alors avec les fonctions qu'ils connaissent:

i) x=y : f(0) = 0

ii) x=0: f(-y) = - f(y). Les solutions sont des fonctions impaires.

iii) On pose g(x) = x ⁿ: (x - y)ⁿ est différent de xⁿ - yⁿ si n différent 1 (là manque de rigueur, car pour explique cela au lycée... Ptetre en raisonnant avec la parité requise).
Donc pour que g soit solution: g(x) = x

iiii) On pose h(x) = ax + b:

h(x-y) = ax - ay + b

h(x) - h(y) = ax + b - ay - b = ax - ay

h(x-y) = h(x) - h(y) équivaut à ax - ay + b = ax - ay

D'où b=0. Donc h(x) telle que h(x) = ax. Or les fonctions de la forme ax sont impaires, elles sont solutions de l'équation focntionelles.

iiiii) On écarte la fonction racine, car définie sur les réels positifs (0 compris), la fonction valeur absolue car elle n'est pas impaire, la fonction inverse car non définie en 0, les fonctions sinus et consinus car non impaire.

Je ne crois pas avoir oublié de fonctions de références, donc au niveau de 1ère S, je vois pas comment faire autrement...

Pas très démonstratif en effet

[Gwyddon]

Effectivement, on peut toujours exhiber des solutions particulières accessibles aux 1èreS, mais ce n'est en rien une démo

D'autres avis ?

[kNz]

Est-ce que cette propriété existe dans le programme de 1èreS ou de TS, et auquel cas est admise sans démontration ?

Ca c'est sûr que non.
Par contre ceux qui préparent les olympiades sont sûrement allés faire un tour ici :
http://www.animath.fr/cours/eqfonc.pdf
Page 10 Propriété 3.

Mais l'exo reste assez hard pour des Première, personnelement je trouve qu'il n'a pas sa place aux olympiades !

PS pour Gwyddon : est-ce que l'énoncé de l'exo en cause ne précise vraiment pas f continue ? parce que là ça deviendrait un peu n'importe quoi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Faut demander à chr57, c'est lui qui m'a transmis l'énoncé

EDIT : cool, en fait f croissante suffit amplement, avec un théorème magique qui s'appelle le théorème des ... (remplacer ici )

Donc c'est un énoncé parfaitement valable en 1èreS, ce théorème étant au programme par contre.


EDIT 2 : Hon hon, je le connais Moobinoul, c'était un de mes khôlleurs

[invite0207283b]

Donc c'est un énoncé parfaitement valable en 1èreS, ce théorème étant au programme par contre.

Pas trouvé dans le livre que j'avais en 1ère S (je garde certains bouquins et j'assume ).

[Gwyddon]

Peut-être pas en 1èreS, mais en TS c'est sûr

[invitee10fe221]

salut,
je confirme, le théorème n'est pas dans mon livre de première S.
amicalement.
silex...

[chr57]

salut,

l'exercice est présent sur cette page et ne précise pas que f est continue:

http://www.animath.fr/tutorat/dossier_06074.html

Lorsque j'avais fait l'exercice, une fois tombé sur f(x-y)=f(x)-f(y), je n'avais pas démontré que les solutions étaient de la forme a.x (honte à moi!). En effet, en tatonnant, on trouve vite les fonctions qui respectent cette égalité, en faisant un petit dessin.

Bien que j'en doute, la démonstration de cette propriété peut être effectuée avec des outils vus en Terminale?

[inviteb17f6c36]

A la fin de l'ennoncé, ils disent bien "et f croissante."

Donc d'apres ce que dis Gwyddon, cela est faisable au niveau lycée...

[Gwyddon]

Bon je donne le nom du théorème : le théorème des gendarmes. Avec ce théorème, qui est vu en TS (j'en suis sûr à 100% là), on peut très bien s'en sortir, avec de la réflexion bien sûr

[invite0207283b]

Théorème des gendarmes abordé en 1ère même


Je ne pensais pas qu'il s'agissait de celui-ci.