Un algorithme d'or?

[invitea3e89b95]

Bonjour a tous,

J'ai remarqué un truc rigolo sur les nombres decimeaux et j'aimerai avoir la confirmation (ou l'infirmation) d'un expert:

on construit algorythmiquement un nombre decimale en aditionant une suite de nombre S(n) de cette manière:
S(1)/10 + s(2)/100 + s(3)/1000 ... et ainsi de suite.

par example Si on prend comme suite les nombres entiers dans l'ordre en partant de 0 on obtient un nombre dons les decimales forment un motif qui "boucle" touts les 9 chiffres : 0.01234567901234567901.... qui correspond au nombre 1/81.

Jusque la ça ne me pose pas de probleme,je vois pourquoi le motif boucle.

mais si on prend comme suite S(n) la suite de Fibonaci ( 0 1 1 2 3 5 8 ...), il semble que l'on obtienne le nombre 1/89 ! dont les decimales forment un motif qui boucle tous les 44 chifres.

je voudrais savoir si le motif formé par l'algorythme boucle réelment indefiniment ou si ça fini par changer au bout d'un moment, et si ça boucle réèlement : comment ça se fait, la suite de Fibo n'étant ni arithmétique , ni géometrique (meme si elle tend a être géometrique de raison Phi, elle ne l'est pas réèlement)

voila, merci et dèsolè si ce que je dit n'est pas trés clair , mes annèes de maths commence a être loin derrière moi
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[martini_bird]

Salut,

c'est un résultat connu (en tout cas, je l'ai déjà croisé quelque part - mais où ? - dans mes lectures) et ce n'est pas très difficile à montrer dès qu'on sait manipuler un peu les séries. Les choses se passent ainsi : en notant le n-ième nombre de Fibonacci, on souhaite calculer

.

Or, par définition, on sait que , et par conséquent, avec et :

Il s'en suit aisément que

il semble que l'on obtienne le nombre 1/89 ! dont les decimales forment un motif qui boucle tous les 44 chifres.

Le fait qu'un "motif" se reproduise (on dit que le développement décimale est périodique) est une propriété caractéristique des nombres rationnels (les fractions - dont fait partie 1/89).

Cordialement.

[invité576543]

Bonjour,

X²-X-1 appliqué à 10 donne 89... Juste pour montrer d'où vient ce 89, tout ou presque dans les suites de fibonacci et le nombre d'or tournant autour de ce polynôme...

Cordialement,

[taladris]

Bonjour!

Je ne suis pas sur d'avoir compris exactement la question de McBain mais j'ai deux petites remarques:

-> si on prend une suite quelconque (entiers quand même), il n'est pas sur que soit bien défini. Par exemple en prenant . Il faut que la suite pas trop vite vers l'infini...
-> de même, il n'est pas sûr que, même si le nombre obtenu soit bien défini, son développement décimal soit périodique. Par exemple, il suffit de prendre pour la décimale de .

En espérant avoir apporté quelquechose à la discution,
bonne journée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi le développement décimal d'un rationnel devient périodique à partir d'un moment?
En auriez-vous une démonstration?
Merci

[invité576543]

Quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi le développement décimal d'un rationnel devient périodique à partir d'un moment?
En auriez-vous une démonstration?
Merci

La démonstration commence par la propriété que pour tout m premier avec 10 il existe n tel que m est un diviseur de 10ⁿ-1. Par exemple 3 divise 9, 11 divise 99, 7 divise 999999.

La démo est facile par les tiroirs: parmi les m valeurs de n entre 0 et m-1 comprises, il y a en au moins une paire i, j, i>j telle que 10ⁱ et 10^j soient égales modulo m, puisqu'il n'y a que m valeurs possibles modulo m non nulles (et comme m et 10 premiers, le modulo ne peut pas être nul). On a alors 10^i-j = 1 modulo m. Au passage, on a démontré que 0<n<m.

On a donc m et n tels que m divise 10ⁿ-1, soit 10ⁿ= km+1, pour un certain entier k. Prenons 1/m et multiplions par 10ⁿ, on obtient 10ⁿ/m = (km+1)/m = k + 1/m, cela montre que le développement est cyclique selon un cycle de longueur n ou plus petit, puisque la multiplication par 10ⁿ a décalé les décimales de n crans sans les changer.

L'extension aux nombres avec des facteurs 2 ou 5 dans le dénominateur, et aux fractions de numérateur autre que 1 se fait sans difficulté.

Cordialement,

[invitec053041c]

Merci!!

[invité576543]

puisqu'il n'y a que m valeurs possibles modulo m non nulles (et comme m et 10 premiers, le modulo ne peut pas être nul).

que m-1 valeurs possibles...

Cdlt,