[Trigonométrie] Démonstration

[inviteaceb3eac]

Salut à tous,
j'aimerais savoir comment on peut démontrer l'égalité suivante:
cos(x+y) = cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
merci d'avance
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[invite9c9b9968]

Bonjour,

On peut le faire à partir du produit scalaire dans un cercle trigonométrique. Mais il me semble que l'on peut faire aussi sans produit scalaire

[inviteaceb3eac]

Ah ok merci
En fait le problème c'est que j'en aurais besoin pour un exo de 3ème mais on n'est pas censé avoir vu le produit scalaire, ni le cercle trigonométrique . Donc si je sors ça, ça ne va pas le faire . N'y a-t'il pas une méthode "toute bête"?

[invite9c9b9968]

Ah ok merci
En fait le problème c'est que j'en aurais besoin pour un exo de 3ème mais on n'est pas censé avoir vu le produit scalaire, ni le cercle trigonométrique . Donc si je sors ça, ça ne va pas le faire . N'y a-t'il pas une méthode "toute bête"?

Dans ce cas tu n'as pas besoin de cette formule pour ton exercice, puisque cette formule n'est pas au programme de troisième

Tu ne veux pas nous donner ton exercice, histoire que l'on y jette un coup d'oeil ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaceb3eac]

Dans ce cas tu n'as pas besoin de cette formule pour ton exercice, puisque cette formule n'est pas au programme de troisième

C'est ce que je me suis dit aussi mais c'était la méthode la plus simple qui m'est venue a l'esprit. C'est simplement pour démontrer que cos(0)=1 ...

[invite9c9b9968]

Mmh... Quelle est ta définition d'un cosinus ?

[inviteaceb3eac]

Eh bien: cos (x) = adj/hyp dans un triangle rectangle...

[inviteaceb3eac]

Tu penses qu'il est possible de le démontrer seulement avec cette formule?

[invite4b9cdbca]

Si x vaut 0, ton côté adjacent et ton hypoténuse sont confondues, donc de même longueur, donc cos(0)=1...
C'est l'approche géométrique que j'avais adoptée.

Sinon je trouves assez tortueux le raisonnement pour montrer que cos(0)=1 avec cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)...

[inviteaceb3eac]

Si x vaut 0, ton côté adjacent et ton hypoténuse sont confondues, donc de même longueur, donc cos(0)=1...
C'est l'approche géométrique que j'avais adoptée.

Oui mais le triangle n'est plus rectangle alors non?

Sinon je trouves assez tortueux le raisonnement pour montrer que cos(0)=1 avec cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)...

Je trouvais ça plus logique

[invite4b9cdbca]

Pourquoi il serait pas rectangle, mon triangle ?
Tiens, par exemple, prends un triangle rectanc ABC rectangle en A.
Puis tu rapproches C de A tout en conservant l'angle droit. Imagines que tu diminues deplus en plus...
Ton angle ABC va alors tedre vers 0 et La distance BC et la distance BA vot devenir de plus en plus proches.
Imagine enfin que tu prennes CA = 0 (ce qui est la continuité de ce que tu as fait juste avant en rapprochant C et A) alors tu as bien cos(0)=1.

[inviteaceb3eac]

Effectivement, oui je n'y avais pas pensé
Un grand merci !!

[invite4b9cdbca]

De rien !
Ce n'est pas hyper rigoureux comme démo, mais ça vaut ce que ça vaut et je pense qu'en troisième on te demandera pas plus... Après reste à savoir si ton prf accepte ce genre de raisonnement "avec les mains"

[inviteaceb3eac]

Je pense, oui, car justement on avait commencé "géométriquement" à démontrer autre chose mais en fait j'y avais pensé au début mais je pensais que le triangle n'était plus rectangle parce que je voyais plutôt le point B aller rejoindre le segment AC , ce qui aurait réduit l'angle; comme quoi j'aurais mieux fait de réfléchir un peu plus

[invitefc60305c]

Si x vaut 0, ton côté adjacent et ton hypoténuse sont confondues, donc de même longueur, donc cos(0)=1...
C'est l'approche géométrique que j'avais adoptée.

Sinon je trouves assez tortueux le raisonnement pour montrer que cos(0)=1 avec cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)...

J'ai du mal à visualiser ça géométriquement.
Pourquoi confondues donc de même longueur ???


Par contre utiliser cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) est assez bien vu je trouve, prenant x=-y.

[invite9c9b9968]

Par contre utiliser cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) est assez bien vu je trouve, prenant x=-y.

Oui, mais ce n'est pas du tout ce qu'il faut faire en 3e

C'est un peu comme parler d'espace vectoriel en 1ère pour introduire le produit scalaire, pas très approprié

[invitec01a4ae8]

Le produit scalaire, c'est pas mal, mais ça ne donne qu'une seule formule à partir de laquelle il faut déduire les 3 autres.

On peut aussi faire cela avec les matrices de rotations. Tu te dit que le vecteur de coordonnées ( cos(a+b) , sin(a+b) ) est le vecteur ( 1 , 0 ) auquel tu fait subir une rotation par un angle 'a', puis par un angle 'b'.

Pour les formules de différences, il suffit de considérer que la seconde rotation est d'un angle '-b', ou prendre la matrice inverse de rotation par un angle 'b' ( ça revient au même ).

http://img410.imageshack.us/img410/7240/cosablk4.jpg

[invite9c9b9968]

Une autre bonne méthode. Ceci dit, le produit scalaire se voit en 1èreS, les matrices en 1ère année d'enseignement supérieur

[invitec01a4ae8]

Zut ... ben c'est vrai ça, je n'y avais pas pensé.

Bon c'est vrai qu'à ce moment là, le produit scalaire reste quand même la méthode la plus directe, parce qu'il y a encore l'autre ...

http://en.wikipedia.org/wiki/Trigono...ometric_proofs

Bon ben vlà, trois méthodes différentes pour la soirée

[inviteaceb3eac]

Salut,
merci beaucoup deiki mais comme le dit Gwyddon, les matrices en 3^ème ce n'est pas pour demain la veille

[taladris]

Un essai de démo pour formaliser l'idée de kron.
Soit A,B deux points du plan. On pose C=B.
C appartient à la demie-droite [AB) donc l'angle BAC est nul.
On a de plus, car BC=0
donc car AB=AC
donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B

Dans le triangle ABC rectangle en B, on cos(BAC)=
d'où cos(0)=1

Voilà. C'était juste pour formaliser l'idée de kron mais je trouve son explication plus convaincante pour un 3e.

En plus, un triangle avec 2 sommets confondus, quelle horreur! Et pourquoi pas des cercles de rayon 0 et des fonctions définie sur un seul point