Bonjour, je me permet de vous addresser la solution de l'excercice 2 du CG 2007 de Mathématiques.
Voilà l'énoncé (Merci à Rafoo) :
On considère dans cet exercice tous les tableaux carrés à 9 cases dans lesquelles sont placés dans un certain ordre tous les entiers de 1 à 9. Par exemple :
1 8 7
9 2 4
6 5 3
A un tel tableau on associe les produits des éléments de ses colones (54, 80, 84 dans l'exemple ci-dessus).
1. (a) Etant donné un tel tableau, montrer qu'il a au moins une ligne dont le produit des éléments est superieur ou égal à 72.
(b) Donner un tableau de ce type dont les trois lignes ont un produit de leurs éléments inferieur ou égal à 72.
2. Etant donné un tableau de ce type, montrer qu'il a au moins une ligne ou une colonne dont le produit est supérieur ou égal à 90.
Solution :
A chaque case, on associe une lettre soit :
a b c
d e f
g h i
1 . (a) Etant donné un tel tableau, montrer qu'il a au moins une ligne dont le produit des éléments est superieur ou égal à 72.
On suppose qu'il n'a pas de ligne dont le produit des éléments est >= 72, soit :
abc < 72
def < 72
ghi < 72
Aussi :
abcdefghi < 723
9! < 723
Ce qui est ABSURDE.
(b) Donner un tableau de ce type dont les trois lignes ont un produit de leurs éléments inferieur ou égal à 72.
Une ligne doit obligatoirement être égale à 72.
soit L1 cette ligne :
72=32 x 23
L1 = {1;8;9}
L2 = {2;5;7}
L3 = {3;4;6}
(Je n'ai pas trouvé de méthode générale ! Mais avec un peu d'arithmétique, et d'arbre de diviseur limité à 3 longueurs de branche, on doit pouvoir le faire !)
2. Etant donné un tableau de ce type, montrer qu'il a au moins une ligne ou une colonne dont le produit est supérieur ou égal à 90.
On suppose qu'il n'en a pas.
a b c
d e f
g h i
Aussi :
abc < 90 <=> abc =< 89
def < 90 <=> def =< 89
ghi < 90 <=> ghi =< 89
adg < 90 <=> adg =< 89
beh < 90 <=> beh =< 89
cfi < 90 <=> cfi =< 89
(abcdefghi)²=< 896
abcdefghi =< 893
defghi =< 893/72 Puisqu'un produit de trois lettres vaut 72. (abc dans ce cas)
soit : 9!/3!=<893/72
ce qui est absurde !
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