Compter en base e

[invité576543]

Bon. Essayons de travailler proprement.

Prenons l'intervalle [0, e[, et cherchons des représentations sous forme d'un nombre x de cet intervalle en procédant récursivement.

Multiplions l'intervalle par e, on obtient un intervalle de taille e², qui peut être recouvert par 3 intervalles de taille e, mais pas par 2 intervalles de taille e.

Il y a une infinité de choix de jeux de trois intervalles. Un exemple est [0, e[, [e, 2e[ et [2e, e²[. Un autre est [0, e²/3[, [e²/3, 2e²/3[, [2e²/3, e²[. Dans ces deux exemples les intervalles sont disjoints, mais on pourrait aussi prendre [0, e[, [2, 2+e[ et [e²-e, e²[.

Le nombre xe tombe dans un ou plusieurs des intervalles. S'il y en a plusieurs, on en choisit un selon un critère quelconque. Soit a₁ la borne inférieure de cet intervalle divisé par e. Par construction, le nombre xe-ea₁ est dans l'intervalle [0, e[.

On procède alors récursivement, en prenant a₂ comme la borne inférieure, divisée par e, de l'intervalle choisi pour xe-ea₁, etc.

Ca donne des réprésentations à 3 symboles en base e de tous les nombres dans l'intervalle [0, e[, qui se généralise facilement à tous les nombres réels positifs (en multipliant par un e^-n bien choisi, et en déplaçant la virgule de n...).

En choisissant des intervalles disjoints, l'algorithme proposé est injectif: pour chaque nombre cela donne un représentation unique. Mais ce n'est pas bijectif (pas plus qu'en base dix!).

Exemple. En prenant les intervalles [0, e[, [e, 2e[ et [2e, e²[ et en prenant 0, 1 et 2 pour représenter ces trois intervalles (facile!), 1 s'écrit tout simplement 1.00000..., ou plus proprement 1.(0)^ω; e s'écrit évidemment 10.(0)^ω.

Prenons 3. Le début du développement est, sf erreur (je fais tout avec mon HP11C fétiche, trop flemmard pour programmer), 10.0200112...

Les représentations alternatives se voient bien en considérant l'intervalle [e², 3[. En effet e² peut s'écrire 100.(0)^ω, mais aussi 21.0211112... Tous les nombres dans l'intervalle ont au minimum deux écritures, l'une avec 3 symboles avant le séparateur, l'autre avec 2 symboles avant le séparateur.

D'autres cas, et l'addition, au prochain épisode (peut-être...)

Cordialement,
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[invite7af75ce8]

Le problème est que si tu veux un nombre limité de symboles, il faut un dévellopement complet.

Supposons que e ait un nombre limité de symboles pour ecrire un entier N.









Ce qui revient à dire que e serait racine d'un polynome,
Ce qui est impossible car e est transcendantal...