Compter en base e

[invitebeb55539]

Salut.

J'aimerais vous poser une petite question. Pour compter en base 10 j'utilise 10 symboles, si je souhaite compter en base e, combien de symboles dois-je utiliser ?

Merci d'avance.
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[invite9c9b9968]

Au cas ou ce serait une devinette :

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Euh... Mais comment veux-tu compter en base e, ce n'est pas un nombre entier

[inviteae224a2b]

Il s'agit d'une base exponentielle et non d'une base au sens commun du terme. a^x est une exponentielle de base a. Cependant le choix d'une base 10 ou autre reste libre car intervient pour le x, même si bien sur a doit appartenir a cette même base

[invitebeb55539]

Ce n'était pas une devinette . Merci pour les réponses.

Une deuxième petite question, comment fait-on pour transformer les nombres non entier en une autre base ?

Exemple, comment écrit-on 2.5 (base10) en base 3 ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

Une deuxième petite question, comment fait-on pour transformer les nombres non entier en une autre base ?

Exemple, comment écrit-on 2.5 (base10) en base 3 ?

Je me rappelle avoir lu que dans une civilisation ancienne, qui avait un système de numération en base de 60, elle utilisait les fractions pour noter les 0,5 (60/2*60), 0,25 (60/4*60)...
Je pense qu'ici tu peux utiliser le même principe.

[invitea3eb043e]

Une deuxième petite question, comment fait-on pour transformer les nombres non entier en une autre base ?

Exemple, comment écrit-on 2.5 (base10) en base 3 ?

Imaginons que tu souhaites le résultat avec 5 chiffres derrière la virgule. Tu multiplies le nombre par 3^5, tu prends la partie entière et tu es ramené au problème d'écrire un entier dans une autre base. Ensuite tu décales la virgule de 5 crans.

[invitebeb55539]

Salut.

J'ai médité le problème et je pense avoir compris. Merci pour les réponses.

En base 2 le premier chiffre après la virgule donne le nombre de demi (0 ou 1); en base 5 le premier chiffre après la virgule donne le nombre de cinquième (0 à 4) etc.


= = =

1.5 base 10 est irrationnel en base 3

Un nombre peut être rationnel dans une base et pas dans une autre. Ca signifierait que l'irrationnalité peut être relative à base, donc peut être qu'il existe une base dans laquelle est rationnel ?

J'espère que je raconte pas trop n'importe quoi

Bonne continuation.

[inviteae224a2b]

Je me suis trompé, 1.5 base 10 n'est pas 1.16666... base 3

De toutes façons le 6 n'existe pas en base 3, le 6 devient 12.

[invitebeb55539]

Je me suis trompé, 1.5 base 10 n'est pas 1.16666... base 3


[EDIT] Oui, j'ai vu trop tard qu'évidemment il n'y a pas de 6 en base 3.

Bonne continuation.

[invitebeb55539]

re,

0.33333... base 10 ne devient il pas 0.1 en base 3 ?

merci.

[invité576543]

0.33333... base 10 ne devient il pas 0.1 en base 3 ?

Oui.

Et 3/2 s'écrit 1.111... en base 3.

Cordialement,

[inviteae224a2b]

Je ne comprends rien à vos conversions.

3 en base 10 n'est pas un tier de la base. C'est le nombre 3. Donc 3 de la base 10 devient 10 en base 3.

4 devient 11
5 devient 12
6 devient 20
7 devient 21
8 devient 22
...


PS: je me suis trompé dans un message précédent, j'avais écris 6 devient 12 mais ça c'est en base 4. Désolé

[inviteae224a2b]

Ha ba si ça marche bien vos conversions

Jsuis vraiment pas habitué à faire des divisions dans une nouvelle base. Merde jcommence à me faire vieux moi

[invite7af75ce8]

Attention... nombre infiniment approchable, ne veut pas dire forcemment irrationnel.

10/3 par exemple

[invité576543]

3 en base 10 n'est pas un tier de la base. C'est le nombre 3. Donc 3 de la base 10 devient 10 en base 3.

Ecris "dix" ce sera plus clair. "3 de la base dix devient 10 en base 3".

Et le symbole 3 ne dépend pas de la base. C'est donc "3 s'écrit 10 en base 3", et "dix s'écrit 10 en base dix".

Cordialement,

[azt]

Bonjour,

Au cas ou ce serait une devinette :

Euh... Mais comment veux-tu compter en base e, ce n'est pas un nombre entier

Est-ce que l'on ne pourrait pas prendre comme chiffres dans ce cas 0 , 1 , 2 et e ?
Voire plus généralement pour une base X les nombres entiers de 0 à la partie entière de X , et X.
J'ai du mal à montrer l'unicité de l'écriture et je ne trouve pas de contre-exemple Quelqu'un y arrive-t-il ?

[azt]

Bonjour,


Est-ce que l'on ne pourrait pas prendre comme chiffres dans ce cas 0 , 1 , 2 et e ?
Voire plus généralement pour une base X les nombres entiers de 0 à la partie entière de X , et X.
J'ai du mal à montrer l'unicité de l'écriture et je ne trouve pas de contre-exemple Quelqu'un y arrive-t-il ?

Il faudrait peut-être aussi montrer que chaque réel a une représentation dans cette base ?

[invitebeb55539]

Salut.

Si compter en base e est possible, le caractère "e" ne peut y être inclus.
Je prends un exemple, en base 3 il n'y a pas de symbole 3, en base 2 il n'y a pas de symbole 2, donc en base e tu ne peux avoir de symbole pour e.

e base 10 = 10 base e

En base e, on aurait que 2 symboles

A vérifier.

Bonne continuation.

[invité576543]

Faudrait peut-être expliciter un peu plus ce qu'on entend pas "représentation en base e".

Ecrire un nombre réel sous la forme est toujours possible. Ce qu'il faut expliciter, ce sont les contraintes sur les . C'est à dire proposer des contraintes qui d'une part n'interdisent pas la représentation ce certains nombres, et d'autre part sont "intéressantes". Mais quelles contraintes sont intéressantes?

Minimiser le nombre de valeurs différentes des , tous nombres confondus, est un exemple de contrainte à optimiser. On doit pouvoir répondre à cette question, 3 suffisent j'imagine (0, 1, 2; ou 0, e/3, 2e/3). Est-ce que deux valeurs suffisent? Si oui, lesquelles?

Cordialement,

[invite4793db90]

Salut,

3 suffisent j'imagine (0, 1, 2)

Non ce n'est pas possible avec (0, 1, 2) (car e est transcendant).

(0, e/3, 2e/3)

Comment écrirais-tu 1 ?

A la louche, je pense qu'il faudrait une infinité de valeurs pour écrire tous les nombres réels.

Cordialement.

[invité576543]

Non ce n'est pas possible avec (0, 1, 2) (car e est transcendant).

Je ne comprend pas. Une somme infinie des e^-i n'est pas nécessairement transcendante, si?

Comment écrirais-tu 1 ?

Pas encore regarder. Mais pourquoi une infinité de e-male ne permettrait pas d'atteindre 1? Tu commence avec e/3, tu l'enlève de 1, tu multiplie par e, etc. Ca doit bien faire une suite qui va arriver au bout.

Pas le temps pour le moment, mais je pense qu'avec très peu de valeurs on doit y arriver.

Cordialement,

[invite4793db90]

Salut,

Je ne comprend pas. Une somme infinie des e^-i n'est pas nécessairement transcendante, si?

Oups désolé, j'étais resté bloqué sur les développements finis...

Pas encore regarder. Mais pourquoi une infinité de e-male ne permettrait pas d'atteindre 1? Tu commence avec e/3, tu l'enlève de 1, tu multiplie par e, etc. Ca doit bien faire une suite qui va arriver au bout.

Ok, tu proposes le même algorithme que pour les bases ordinaires, mais on a pas de division euclidienne (stathme euclidien) ici : en d'autres termes, il faudrait avoir un moyen de déterminer quel "chiffre" prendre (0, e/3 ou 2e/3 dans ton exemple). En particulier, de 1 on peut commencer par ôter e/3 ou bien 2e/3... Je vais regarder ça.

Cordialement.

[azt]

Désolé, pour la bourde avec 'e' comme symbole. A faire des calculs avec, j'ai oublié qu'il n'était que la base et non un symbole.

Pour reprendre l'écriture sous la forme , quand on développe un peu cela donne : pour i entier de -infini à +infini

Si on ne prend que deux termes consécutifs :

Lors d'une addition, on a

va pouvoir créer une retenue sur le coefficient de . Si on prend la même définition de la retenue habituellement quand ce coefficient sera forcément 1. Cette définition permet de garder l'unicité de la représentation d'un nombre dans la base e, si on baise la valeur de la retenue certains nombres auront plusieurs représentations alors que si on la monte à , certains nombres n'auront pas de représentation.
Et ainsi de suite, on arrive aux coefficients entiers.

Si je ne suis pas clair dites-le, je recommence

[invité576543]

Cette définition permet de garder l'unicité de la représentation d'un nombre dans la base

Il n'y a pas unicité de la représentation même en base dix. Aucune raison d'imposer cette contrainte intenable!

Cordialement,

[azt]

Il n'y a pas unicité de la représentation même en base dix. Aucune raison d'imposer cette contrainte intenable!

Cordialement,

Tu veux parler d'écriture comme 1 = 0.999999... (avec les ... qui définissent une somme) ?

[invité576543]

en d'autres termes, il faudrait avoir un moyen de déterminer quel "chiffre" prendre (

Pas nécessairement. Si on admet une multiplicité de représentations, même infinie (dénombrable?), c'est juste un choix. Si ça se trouve la liste des chiffres possibles est simple à établir, et n'importe lequel est acceptable. Ca donne juste une représentation différente selon le choix.

Cordialement,

[invité576543]

Tu veux parler d'écriture comme 1 = 0.999999... (avec les ... qui définissent une somme) ?

Oui.




...

[azt]

Le principe de la retenue ,c'est à dire lorsque l'on atteint ou dépasse la valeur de la base
on ajoute une unité au coefficient du terme de poids immédiatement supérieur,

C'est bien une caractéristique de notre méthode de calcul ?
Pour moi c'est une contrainte à imposer, non ?

[invite7af75ce8]

Compter en base e :

1 = e⁰
2 = 2e⁰
2 = aeⁿ
...

Le problème est que e étant irrationnel, a n'appartiendra jamais à Q...pour n diff de 0...

Donc il va falloir une infinité de symboles...

[invité576543]

Bonjour,

C'est bien une caractéristique de notre méthode de calcul ?
Pour moi c'est une contrainte à imposer, non ?

Ca dépend. Ce qu'on discute a plusieurs facettes. La première, celle que je regarde en priorité, est simplement la notion de représentation. C'est juste étudier la possibilité d'écrire un nombre réel selon certaines règles.

Dans un deuxième temps on peut effectivement se poser la question de l'algorithmique des opérations élémentaires à partir d'une telle représentation. Et il est bien possible que tu aies raison, qu'une écriture "en base e" (si on trouve ce que ça veut dire!) ne permette pas une algorithmique aussi simple que celle que l'on a en base entière.

La première étape me semble quand même de regarder si on peut représenter les nombre avec un nombre fini de symboles... Avec un exemple, on pourra regarder plus en détail...

Cordialement,