Integrales 2

[invite0fadfa80]

Me revoilà, un autre problème faisant intervenir integrale et trigonometrie
Dans mon exercice j'ai du montrer que :
(u²-1)/(2u-1)=au+b+(c/(2u-1))
puis j'ai du calculer l'integrale de -1 à 0 de : (x²-1)/(2x-1)
Maintenant on me demande de trouver l'integrale de -pi/6 à 0 de : (cos(x)^3) / (1-2sin(x))
Je me doute qu'il faut utiliser la formule de départ car comme ça c'est bien trop difficile (voire impossible) mais je n'arrive pas à faire apparaitre de similitude :
cos(x)^3
=cos(x)*cos(x)²
=cos(x)*((1+cos(2x))/2)
=(cos(x)+cos(2x)²)/2
....
pffff vivement la rentrée ça rend bête les vacances
Merci d'avance
-----

[cedbont]

Bonjour,
moi je ferais ça avec un changement de variable :
u = sin(x)
du = cos(x)*dx Mais je doute que ce soit au programme du lycée.

Bon ça te donne pour ton intégrale I :

I = int((cos³x)/(1-2*sin(x))*dx,-Pi/6,0)

I = int((1-sin²x)*cos(x)/(1-2*sin(x))*dx,-Pi/6,0)

Ensuite tu remplaces sin(x) par u, dx par du/cos(x) et les bornes -Pi/6 et 0 par -1/2 (égal à sin(-Pi/6)) et par 0 (égal à sin(0)).

I = int((1-u²)/(1-2*u)*du,-1/2,0) que tu dois savoir calculer.

[invite4af455c2]

Pour une meilleure lecture :




Finalement


Pour ce qui est de la méthode ,le changement de variable est le plus rapide et naturel...

[invite0fadfa80]

Ok merci, par contre je comprends pas trop pourquoi on change les bornes et je vais peut etre parraitre bête mais je comprends pas non plus comment calculer l'integrale finale ( je ne trouve pas la primitive, c'est pas de la forme u'/u^n ni d'aucune autre forme)

[A voir en vidéo sur Futura]

[cedbont]

Et bien tu dois changer les bornes parce que tu as changé de variable : tu passes de sin(x) (variable x) à u.
Or lorsque x = -Pi/6, sin(x) = -1/2 = u et lorsque x = 0, sin(x) = 0 = u
Je crois que tu connais une manière de calculer I = int((1-u2)/(1-2*u)*du,-1/2,0) car tu as déjà calculé :

j'ai du calculer l'integrale de -1 à 0 de : (x²-1)/(2x-1)

Sinon, aide-toi de :

(u²-1)/(2u-1)=au+b+(c/(2u-1))

[invite0fadfa80]

Est ce que par hasard l'integrale de a*b est égal à l'intégral de a multipliée par l'intégrale de b ? Parceque la ca pourrrait m'aider mais on a pas encore vu ça en cours

[invite4af455c2]

Absolument faux ! Tu confond sans doute avec l'intégration par partie qui se base sur un produit ... Ici , l'exercice te donne une piste avec la décomposition en éléments simples , il ne faut pas chercher ailleurs. On te demande pas non plus de passer dans (ce qui serait ici très facile) pour la calculer.

[cedbont]

Peux-tu nous réécrire comment tu as :

[calculé] l'integrale de -1 à 0 de : (x²-1)/(2x-1)

?

[invitea7fcfc37]

Le changement de variable n'est pas au programme de TS.
J'ai pas regardé ton exo en détail, mais si tu écris :

cos³x = (1-sin²x)*cosx

ça revient à intégrer :

cosx * [sin²x-1]/[2sinx-1]

[invite0fadfa80]

Peux-tu nous réécrire comment tu as :
Citation:
[calculé] l'integrale de -1 à 0 de : (x²-1)/(2x-1)

?

ben j'ai remplacé cette expression par : au + b + (c/(2u-1)) puisqu'on a montré que c'était pareil dans la question 1 avec :
a=1/2
b=1/4
c=-3/4

[invite0fadfa80]

Le changement de variable n'est pas au programme de TS.
J'ai pas regardé ton exo en détail, mais si tu écris :

cos³x = (1-sin²x)*cosx

ça revient à intégrer :

cosx * [sin²x-1]/[2sinx-1]

Je comprends pas trop ce que vous voulez dire, voulez vous dire que cos³x =(1-sin²x)*cosx =cosx * [sin²x-1]/[2sinx-1] ?

[cedbont]

Bien, maintenant tu peux trouver une primitive de au + b + (c/(2u-1)) ?

[invite0fadfa80]

oui je dirais ((a*u²)/2)+bu+ (1/2)ln[2u-1]
avec les [] qui signifient valeur absolue

[invite0fadfa80]

non non attendez je reflechis y'a un problème avec le c

[cedbont]

Oui c'est presque ça : tu as dû oublier un c :
(a*u²)/2 + b*u + (1/2)*c*ln[2*u - 1]

[invite0fadfa80]

((a*u²)/2)+bu+ (c/2)ln[2u-1]
je dirais plutot ça

[invite0fadfa80]

mais je vois toujours pas comment résoudre la question 3

[cedbont]

Voilà maintenant tu peux intégrer de -1/2 à 0.

[invitedb417883]

[QUOTE]

Mais je doute que ce soit au programme du lycée.

QUOTE]

Si les changements de variable sont utiliser en fin de terminale au lycée meme si c'est rare

[cedbont]

Ben oui, moi aussi, mais quelle autre méthode utiliser ?

[invite0fadfa80]

Voilà maintenant tu peux intégrer de -1/2 à 0.

je trouve 1/16 + (3/8)ln2

[invite4af455c2]

Rapidement , je trouve la même chose... c'est réussi!

[invite0fadfa80]

Ben ouai je veux bien que ce soit l'integrale de (u²-1)/(2u-1) mais je vois vraiment pas comment ça peut m'aider à résoudre la question 3, je vois aucun rapport entre cette équation et (cos(x)^3) / (1-2sin(x))

[invite0fadfa80]

up i need your help (pour faire style et écrire 10 lettres sinon peut pas poster )

[invite4af455c2]

En fait c'est la réponse de la question 3) , une autre manière de faire est d'utiliser la décomposition
(j'espère que ta décomposition est exacte).
Tu remplace ici la variable u par cos(x) ce qui te donne :



Ici , c'est déja intégrable mais un petit coup de pouce :



Le dernier terme est de la forme u'/u , tout ceci intégrable... normalement on retrouve le même résultat (ce qui est le cas vérifié ).

Pour ce qui est du changement de variable , au lieu de calculer par rapport à une variable x , on travaille avec une variable cos(x) par exemple. On doit changer les bornes et l'expression de l'intégrale en conséquence.

[invite0fadfa80]

Ok merci beaucoup, j'ai compris
par contre la variable u c'est sin(x) pas cos(x).
Je n'avais pas pensé à multiplier en haut et en bas par -1parceque la on a (1-u²)/(1-2u) mais en multipliant par -1/-1 ça donne bien (u²-1)/(2u-1). Par contre je n'ai pas du changer les bornes puisque c'est tout de suite intégrable et je trouve rapidement (5/16)+(3/8)ln(2) mais je vais recalculer ça parcequ'on ne trouve pas la même chose que lorsqu'on avait fait le changement de variable.
Encore merci pour tout

[invite4af455c2]

Le changement de variable c'est la méthode que cedbont a proposé (pas à ton programme ) on a besoin de changer les bornes. Ici c'est juste une substitution , on te fait dévellopper avec des x , c'est la même chose avec des sin(x).
Normalement tu devrais retrouver le même résultat ....

[invite0fadfa80]

tout à fait j'ai pareil, merci

[invite9f820be6]

Bonjour,
J'ai moi aussi cet exo à faire mais je n'arrive même pas à la première question.De quelle façon on arrive à déterminer les réels svp?

[invite9f820be6]

autant pour moi j'ai jeté un coup d'oeil à la méthode du début d'année et j'ai trouvé.