Integrales 2
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Integrales 2



  1. #1
    invite0fadfa80

    Integrales 2


    ------

    Me revoilà, un autre problème faisant intervenir integrale et trigonometrie
    Dans mon exercice j'ai du montrer que :
    (u²-1)/(2u-1)=au+b+(c/(2u-1))
    puis j'ai du calculer l'integrale de -1 à 0 de : (x²-1)/(2x-1)
    Maintenant on me demande de trouver l'integrale de -pi/6 à 0 de : (cos(x)^3) / (1-2sin(x))
    Je me doute qu'il faut utiliser la formule de départ car comme ça c'est bien trop difficile (voire impossible) mais je n'arrive pas à faire apparaitre de similitude :
    cos(x)^3
    =cos(x)*cos(x)²
    =cos(x)*((1+cos(2x))/2)
    =(cos(x)+cos(2x)²)/2
    ....
    pffff vivement la rentrée ça rend bête les vacances
    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    cedbont

    Re : Integrales 2

    Bonjour,
    moi je ferais ça avec un changement de variable :
    u = sin(x)
    du = cos(x)*dx Mais je doute que ce soit au programme du lycée.

    Bon ça te donne pour ton intégrale I :

    I = int((cos3x)/(1-2*sin(x))*dx,-Pi/6,0)

    I = int((1-sin2x)*cos(x)/(1-2*sin(x))*dx,-Pi/6,0)

    Ensuite tu remplaces sin(x) par u, dx par du/cos(x) et les bornes -Pi/6 et 0 par -1/2 (égal à sin(-Pi/6)) et par 0 (égal à sin(0)).

    I = int((1-u2)/(1-2*u)*du,-1/2,0) que tu dois savoir calculer.

  3. #3
    invite4af455c2

    Re : Integrales 2

    Pour une meilleure lecture :




    Finalement


    Pour ce qui est de la méthode ,le changement de variable est le plus rapide et naturel...

  4. #4
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    Ok merci, par contre je comprends pas trop pourquoi on change les bornes et je vais peut etre parraitre bête mais je comprends pas non plus comment calculer l'integrale finale ( je ne trouve pas la primitive, c'est pas de la forme u'/u^n ni d'aucune autre forme)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    cedbont

    Re : Integrales 2

    Et bien tu dois changer les bornes parce que tu as changé de variable : tu passes de sin(x) (variable x) à u.
    Or lorsque x = -Pi/6, sin(x) = -1/2 = u et lorsque x = 0, sin(x) = 0 = u
    Je crois que tu connais une manière de calculer I = int((1-u2)/(1-2*u)*du,-1/2,0) car tu as déjà calculé :
    j'ai du calculer l'integrale de -1 à 0 de : (x²-1)/(2x-1)
    Sinon, aide-toi de :
    (u²-1)/(2u-1)=au+b+(c/(2u-1))

  7. #6
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    Est ce que par hasard l'integrale de a*b est égal à l'intégral de a multipliée par l'intégrale de b ? Parceque la ca pourrrait m'aider mais on a pas encore vu ça en cours

  8. #7
    invite4af455c2

    Re : Integrales 2

    Absolument faux ! Tu confond sans doute avec l'intégration par partie qui se base sur un produit ... Ici , l'exercice te donne une piste avec la décomposition en éléments simples , il ne faut pas chercher ailleurs. On te demande pas non plus de passer dans (ce qui serait ici très facile) pour la calculer.

  9. #8
    cedbont

    Re : Integrales 2

    Peux-tu nous réécrire comment tu as :
    [calculé] l'integrale de -1 à 0 de : (x²-1)/(2x-1)
    ?

  10. #9
    invitea7fcfc37

    Re : Integrales 2

    Le changement de variable n'est pas au programme de TS.
    J'ai pas regardé ton exo en détail, mais si tu écris :

    cos3x = (1-sin²x)*cosx

    ça revient à intégrer :

    cosx * [sin²x-1]/[2sinx-1]

  11. #10
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    Peux-tu nous réécrire comment tu as :
    Citation:
    [calculé] l'integrale de -1 à 0 de : (x²-1)/(2x-1)

    ?
    ben j'ai remplacé cette expression par : au + b + (c/(2u-1)) puisqu'on a montré que c'était pareil dans la question 1 avec :
    a=1/2
    b=1/4
    c=-3/4

  12. #11
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Le changement de variable n'est pas au programme de TS.
    J'ai pas regardé ton exo en détail, mais si tu écris :

    cos3x = (1-sin²x)*cosx

    ça revient à intégrer :

    cosx * [sin²x-1]/[2sinx-1]
    Je comprends pas trop ce que vous voulez dire, voulez vous dire que cos3x =(1-sin²x)*cosx =cosx * [sin²x-1]/[2sinx-1] ?

  13. #12
    cedbont

    Re : Integrales 2

    Bien, maintenant tu peux trouver une primitive de au + b + (c/(2u-1)) ?

  14. #13
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    oui je dirais ((a*u²)/2)+bu+ (1/2)ln[2u-1]
    avec les [] qui signifient valeur absolue

  15. #14
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    non non attendez je reflechis y'a un problème avec le c

  16. #15
    cedbont

    Re : Integrales 2

    Oui c'est presque ça : tu as dû oublier un c :
    (a*u²)/2 + b*u + (1/2)*c*ln[2*u - 1]

  17. #16
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    ((a*u²)/2)+bu+ (c/2)ln[2u-1]
    je dirais plutot ça

  18. #17
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    mais je vois toujours pas comment résoudre la question 3

  19. #18
    cedbont

    Re : Integrales 2

    Voilà maintenant tu peux intégrer de -1/2 à 0.

  20. #19
    invitedb417883

    Re : Integrales 2

    [QUOTE]
    Citation Envoyé par cedbont Voir le message
    Mais je doute que ce soit au programme du lycée.

    QUOTE]
    Si les changements de variable sont utiliser en fin de terminale au lycée meme si c'est rare

  21. #20
    cedbont

    Re : Integrales 2

    Ben oui, moi aussi, mais quelle autre méthode utiliser ?

  22. #21
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    Citation Envoyé par cedbont Voir le message
    Voilà maintenant tu peux intégrer de -1/2 à 0.
    je trouve 1/16 + (3/8)ln2

  23. #22
    invite4af455c2

    Re : Integrales 2

    Rapidement , je trouve la même chose... c'est réussi!

  24. #23
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    Ben ouai je veux bien que ce soit l'integrale de (u²-1)/(2u-1) mais je vois vraiment pas comment ça peut m'aider à résoudre la question 3, je vois aucun rapport entre cette équation et (cos(x)^3) / (1-2sin(x))

  25. #24
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    up i need your help (pour faire style et écrire 10 lettres sinon peut pas poster )

  26. #25
    invite4af455c2

    Re : Integrales 2

    En fait c'est la réponse de la question 3) , une autre manière de faire est d'utiliser la décomposition
    (j'espère que ta décomposition est exacte).
    Tu remplace ici la variable u par cos(x) ce qui te donne :



    Ici , c'est déja intégrable mais un petit coup de pouce :



    Le dernier terme est de la forme u'/u , tout ceci intégrable... normalement on retrouve le même résultat (ce qui est le cas vérifié ).

    Pour ce qui est du changement de variable , au lieu de calculer par rapport à une variable x , on travaille avec une variable cos(x) par exemple. On doit changer les bornes et l'expression de l'intégrale en conséquence.

  27. #26
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    Ok merci beaucoup, j'ai compris
    par contre la variable u c'est sin(x) pas cos(x).
    Je n'avais pas pensé à multiplier en haut et en bas par -1parceque la on a (1-u²)/(1-2u) mais en multipliant par -1/-1 ça donne bien (u²-1)/(2u-1). Par contre je n'ai pas du changer les bornes puisque c'est tout de suite intégrable et je trouve rapidement (5/16)+(3/8)ln(2) mais je vais recalculer ça parcequ'on ne trouve pas la même chose que lorsqu'on avait fait le changement de variable.
    Encore merci pour tout

  28. #27
    invite4af455c2

    Re : Integrales 2

    Le changement de variable c'est la méthode que cedbont a proposé (pas à ton programme ) on a besoin de changer les bornes. Ici c'est juste une substitution , on te fait dévellopper avec des x , c'est la même chose avec des sin(x).
    Normalement tu devrais retrouver le même résultat ....

  29. #28
    invite0fadfa80

    Re : Integrales 2

    tout à fait j'ai pareil, merci

  30. #29
    invite9f820be6

    Re : Integrales 2

    Bonjour,
    J'ai moi aussi cet exo à faire mais je n'arrive même pas à la première question.De quelle façon on arrive à déterminer les réels svp?

  31. #30
    invite9f820be6

    Re : Integrales 2

    autant pour moi j'ai jeté un coup d'oeil à la méthode du début d'année et j'ai trouvé.

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