[Amérique du Nord 2007] ROC à vérifier :)

[inviteee20e3bc]

Bonjour à tous. voici l'énoncé.

1. Réstitution organisée de connaissances
L'objet de cette question est de démontrer que
On supposera connus les résultats suivants :
la fonction exponentielle est dérivable sur et est égale à sa fonction dérivée ;
e0 = 1 ;
pour tout réel , on a .
Soient deux fonctions f et g définies sur l'intervalle [A ; [ où A est un réel positif.

Si pour tout x de [A ; [ f(x) < g(x) et si alors

a) On considère la fonction g définie sur [0 ; +[ par

Montrer que pour tout réel de [0 ; +[,
b) En déduire que
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Je vous propose mon raisonnement, et ma rédaction pour savoir si je rédige ( et raisonne ) bien.

a) Montrons que quelque soit x appartenant à , :

calculons g'(x):



comme , alors
, d'où
On en déduit alors que g est strictement croissante sur

Or,

Comme g est strictement croissante sur et , alors sur


b) Montrons que :

d'après a, on a donc




car sur

or ,
donc d'après le théorème de comparaison,



==> CQFD
Si il y'a des problèmes de rédaction, merci de m'en faire part pour l'améliorer car au bac il y'a beaucoup de points pour le rédaction
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[invite35452583]

Globalement très bien, néanmoins 2 détails :
a) il serait bien de justifier que g est dérivable avant de dériver.
b) il serait plus sage d'exclure 0 d'une domaine de validité des inégalités (les divisions par 0 font toujours mauvais genre)

[inviteee20e3bc]

Ah oui exact, pour ,x n'est pas égal à 0

Sino, pour la dérivée, on peut dire que comme e^x et -x²/2 sont dérivables sur [0;+\infty[ alors g est dérivable sur [0;+\infty[ comme somme de fonctions dérivables

Merci pour la réponse rapide

[inviteee20e3bc]

J'aurais encore besoin de vous pour rédiger

Dans cette question, on doit montrer que la fonction est croissante sur

dans la question précédente, on a montré que la fonction f(x) était positive sur cet intervalle. Je dérive donc F ( en disant d'abord qu'elle est dérivable puisque la fonction est une intégrale) pour retrouver f mais je ne sais pas comment bien le rédiger, car je ne crois pas que je puisse écrire F(x) = F(x) - F(0), ou alors je l'écrit , et comme F(0) est une cste, F'(x) = (F(x))'= f(x) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

La correction apportée au post #3 est impec.
Pour le post #4, personnellement je le rédigerais ainsi :
La fonction F est la primitive de f qui s'annule en 0. F est donc dérivable et de dérivée positive d'après ce qui suit donc F est croissante sur IR+.
Mais, ce qui est en italique fait-il l'objet d'un théorème spécifique en Tle S ?

[invitea7fcfc37]

Oui oui ça l'est

[inviteee20e3bc]

ok je vous remercie. J'ai une ptite question qui suis. Lorsqu'on me demandait de vérifier qu'une fonction était bien la primitive d'une autre, je la dérive.

Mais là ma fonction est une intégrale, si je dois vérifier que cette intégrale est égale à une certaine fonction, je peux aussi la dérivée pour retrouver la fonction d'origine?

Ce qui me déroute un peu c'est que ce n'est plus une primitive, mais l'intégrale entre 0 et x de la fonction f(t)

en tout cas merci pour votre aide

[inviteee20e3bc]

Qu'en est il de la dérivée d'une intégrale?
cela dépends t il des bornes? la borne supérieure doit elle être la variable? je ne m'étais pas encore posé la question

[invite35452583]

Qu'en est il de la dérivée d'une intégrale?
cela dépends t il des bornes? la borne supérieure doit elle être la variable? je ne m'étais pas encore posé la question

Le théorème affirme que :
est la primitive de f s'annulant en a (dans la rédaction il est donc inutile de dériver, au pire cela ne montre que "F est primitive de f" et "f est la dérivée de F" pourraient ne pas être exactement la même chose => _ça alourdit non pas inutilement mais négativement).
Maintenant dans le cas où les bornes sont autres :
ce n'est plus une primitive, a priori, de f. On a néanmoins si u et v sont dérivables et en posant F une primitive de f :
g est dérivable comme différence de deux fonctions composées de fonctions dérivables et on a :

(remarque, si v est constante v'=0 si u(x)=x on a u'(x)=1 et on retrouve bien g'=f.)

[inviteee20e3bc]

ok je te remercie cette propriété est mémorisée